A interseção do hiperboloide de 2 folhas \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 com o plano x=2 é:
Escolha uma opção:
a. Hipérbole
b. Elipse
c. Conjunto Vazio
d. 2 pontos
e. 1 Ponto

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre o hiperboloide de duas folhas
\frac{x^{2}}{4} \;-\;\frac{y^{2}}{9}\;-\;\frac{z^{2}}{16}=1
e o plano x=2. O conteúdo aqui é reconhecer que, ao fixar x, obtemos uma curva no plano yz que pode ser elipse, hipérbole, ponto, vazio, etc. Basta substituir x=2 na equação e verificar qual é o tipo de conjunto resultante em termos de y e z.

Passo 2

Substituímos x=2 em
\frac{x^{2}}{4} \;-\;\frac{y^{2}}{9}\;-\;\frac{z^{2}}{16}=1
ficando
\frac{2^{2}}{4} \;-\;\frac{y^{2}}{9}\;-\;\frac{z^{2}}{16}=1.

Passo 3

Calculamos \frac{2^{2}}{4}=1, então a equação vira
1 \;-\;\frac{y^{2}}{9}\;-\;\frac{z^{2}}{16}=1.
Subtraindo 1 dos dois lados, obtemos
-\frac{y^{2}}{9}\;-\;\frac{z^{2}}{16}=0.

Passo 4

Multiplicando por -1, dá
\frac{y^{2}}{9} \;+\;\frac{z^{2}}{16}=0.
Como soma de dois termos não negativos só pode ser zero se cada termo for zero, concluímos
y=0 \quad\text{e}\quad z=0.
Isso significa que a interseção é exatamente o ponto (2,0,0).

Resposta

e. 1 Ponto

Exercícios relacionados