Determine (com os devidos cálculos):
( 1,0 ponto) A matriz simétrica C=\left(c_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que c_{i j}=2 i-j^{2}-5, para i \geq j.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a matriz simétrica C=(c_{ij})_{3\times3} tal que, para índices com i\ge j, vale a fórmula
c_{ij}=2i-j^{2}-5.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A matriz é de ordem 3, logo os índices i e j variam em \{1,2,3\}.
  • A fórmula dada vale apenas quando i\ge j (ou seja, para a diagonal e a parte abaixo da diagonal).
  • A matriz é simétrica, portanto para i<j devemos ter c_{ij}=c_{ji}.
    A tarefa é calcular todos os 9 elementos de C usando essas duas informações.

Passo 2

Lembrete (passo a passo didático): o que significa matriz simétrica e como usá-la aqui.
  • Uma matriz C é simétrica se C^T=C, isto é, c_{ij}=c_{ji} para todo i,j.
  • Consequência prática: basta calcular os elementos com i\ge j (diagonal e triângulo inferior). Depois copiamos esses valores para as posições espelhadas c_{ji} quando i>j.
  • Neste exercício: vou primeiro calcular os valores para os pares (i,j) com i\ge j: (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3). Depois aplico simetria para obter os demais.

Passo 3

Cálculo de c_{11} (caso i=j=1). Uso a fórmula \;c_{ij}=2i-j^{2}-5\; com i=1 e j=1:
c_{11}=2\cdot 1 - 1^{2} - 5 = 2 - 1 - 5 = -4.

Passo 4

Cálculo de c_{21} (caso i=2,\;j=1). Substituo na fórmula:
c_{21}=2\cdot 2 - 1^{2} - 5 = 4 - 1 - 5 = -2.

Passo 5

Cálculo de c_{22} (caso i=j=2). Substituo:
c_{22}=2\cdot 2 - 2^{2} - 5 = 4 - 4 - 5 = -5.

Passo 6

Cálculo de c_{31} (caso i=3,\;j=1). Substituo:
c_{31}=2\cdot 3 - 1^{2} - 5 = 6 - 1 - 5 = 0.

Passo 7

Cálculo de c_{32} (caso i=3,\;j=2). Substituo:
c_{32}=2\cdot 3 - 2^{2} - 5 = 6 - 4 - 5 = -3.

Passo 8

Cálculo de c_{33} (caso i=j=3). Substituo:
c_{33}=2\cdot 3 - 3^{2} - 5 = 6 - 9 - 5 = -8.

Passo 9

Aplicando a simetria para preencher a parte superior ( i<j):
  • c_{12}=c_{21}=-2.
  • c_{13}=c_{31}=0.
  • c_{23}=c_{32}=-3.
    Agora eu tenho todos os nove elementos da matriz C. Apresento a matriz completa abaixo.

Resposta

C=\begin{pmatrix} -4 & -2 & 0\\[4pt] -2 & -5 & -3\\[4pt] 0 & -3 & -8 \end{pmatrix}]

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