Determine (com os devidos cálculos):
( 1,0 ponto) A matriz simétrica
tal que
, para
.
( 1,0 ponto) A matriz simétrica
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a matriz simétrica
tal que, para índices com
, vale a fórmula
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A matriz é de ordem
, logo os índices e variam em . - A fórmula dada vale apenas quando
(ou seja, para a diagonal e a parte abaixo da diagonal). - A matriz é simétrica, portanto para
devemos ter .
A tarefa é calcular todos oselementos de usando essas duas informações.
Passo 2
Lembrete (passo a passo didático): o que significa matriz simétrica e como usá-la aqui.
- Uma matriz
é simétrica se , isto é, para todo . - Consequência prática: basta calcular os elementos com
(diagonal e triângulo inferior). Depois copiamos esses valores para as posições espelhadas quando . - Neste exercício: vou primeiro calcular os valores para os pares
com : , , , , , . Depois aplico simetria para obter os demais.
Passo 3
Cálculo de
(caso
). Uso a fórmula
com
e
:
Passo 4
Cálculo de
(caso
). Substituo na fórmula:
Passo 5
Cálculo de
(caso
). Substituo:
Passo 6
Cálculo de
(caso
). Substituo:
Passo 7
Cálculo de
(caso
). Substituo:
Passo 8
Cálculo de
(caso
). Substituo:
Passo 9
Aplicando a simetria para preencher a parte superior (
):
-
. -
. -
.
Agora eu tenho todos os nove elementos da matriz. Apresento a matriz completa abaixo.