Determine (com os devidos cálculos):
( 1,5 ponto) As matrizes triangulares superiores A_{2 \times 2} tais que A^{2}=\left(\begin{array}{ll}4 & 9 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as matrizes triangulares superiores 2\times2 A tais que
A^{2}=\begin{pmatrix}4 & 9 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas e exigidas:
  • A matriz resultante de A^{2} é \begin{pmatrix}4 & 9 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Procuramos todas as matrizes A que sejam triangulares superiores 2\times2 e satisfaçam essa igualdade.
  • Não há outras restrições explícitas (presumimos entradas reais).]

Passo 2

Escrevemos a forma geral de uma matriz triangular superior 2\times2. Uma matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal principal, então escrevemos
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix},
onde a, b e c são números reais desconhecidos que precisamos determinar. Explicando devagar: a é o elemento (1,1), b é o elemento (1,2) (o único acima da diagonal) e c é o elemento (2,2). O elemento (2,1) é 0 porque a matriz é triangular superior.]

Passo 3

Vamos calcular A^{2}=A\cdot A usando a definição de multiplicação de matrizes. Multiplicando
A^{2}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação (cada elemento é soma de produtos de linha por coluna):
A^{2}=\begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot 0 & a\cdot b + b\cdot c \\[6pt] 0\cdot a + c\cdot 0 & 0\cdot b + c\cdot c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} & ab + bc \\[4pt] 0 & c^{2} \end{pmatrix}.
Aqui expliquei cada termo: o termo (1,1) é a^{2}, o (1,2) é ab+bc=b(a+c), o (2,1) é 0 e o (2,2) é c^{2}.]

Passo 4

Agora igualamos A^{2}\) à matriz dada e comparamos entradas correspondentes. Temos o sistema de equações \[\begin{cases} a^{2}=4,\\[4pt] ab+bc=9,\\[4pt] c^{2}=1. \end{cases}
Observação: a equação do elemento (1,2) pode ser escrita como (b(a+c)=9], o que será útil.]

Passo 5

Resolvemos as equações simples das diagonais, que são quadráticas mas fáceis:
a^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad a=2 \text{ ou } a=-2,
porque a raiz quadrada de 4 é 2 e permitimos os dois sinais.
c^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad c=1 \text{ ou } c=-1,
porque a raiz quadrada de 1 é 1 (com sinais \pm).
Expliquei: resolver x^{2}=k significa tomar x=\pm\sqrt{k}.

Passo 6

Agora usamos b(a+c)=9 para encontrar b. Primeiro observação teórica: se a+c=0 então b(a+c)=0 e não seria possível obter 9, logo não haveria solução nesse caso. Então só aceitamos pares (a,c) com a+c\neq0. Vamos listar as quatro combinações possíveis de a e c e calcular b.
  1. a=2,\;c=1. Então a+c=2+1=3\neq0. Assim
b=\frac{9}{a+c}=\frac{9}{3}=3.
  1. a=2,\;c=-1. Então a+c=2+(-1)=1\neq0. Assim
b=\frac{9}{1}=9.
  1. a=-2,\;c=1. Então a+c=-2+1=-1\neq0. Assim
b=\frac{9}{-1}=-9.
  1. a=-2,\;c=-1. Então a+c=-2+(-1)=-3\neq0. Assim
b=\frac{9}{-3}=-3.
Cada caso deu um b bem definido e nenhum caso levou a a+c=0, portanto todas as quatro combinações são válidas.

Passo 7

Formamos as matrizes A correspondentes a cada solução (a,b,c):
\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}2 & 9 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-2 & -9 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Breve verificação mental: em cada caso a^{2}=4 e c^{2}=1 são corretos, e b(a+c)=9 foi a equação usada para achar b, logo A^{2} coincide com a matriz dada. Não há outras possibilidades porque já considerámos todas as escolhas de sinais para a e c.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2 & 9 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-2 & -9 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}]

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