Determine o diâmetro de uma tubulação com 350 m de comprimento e rugosidade de 0,10 mm escoando uma vazão 8,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a temperatura de 20 C com perda de carga de 3,20 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o diâmetro de uma tubulação, e nos dá os seguintes dados:
  • comprimento da tubulação: L=350\\ \mathrm{m};
  • rugosidade absoluta: \epsilon=0{,}10\\ \mathrm{mm} (vou converter para metros mais adiante);
  • velocidade do escoamento: V=8{,}5\\ \mathrm{m/s} (o enunciado fornece unidades de \mathrm{m/s}, então trata-se de velocidade, não de vazão volumétrica);
  • temperatura do fluido: 20^\circ\mathrm{C} (vai servir para obter a viscosidade cinemática);
  • perda de carga (queda de carga total) no comprimento: h_f=3{,}20\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar o diâmetro interno D da tubulação que satisfaça esses dados.

Passo 2

Plano de resolução (sem resolver ainda): usar a equação de Darcy–Weisbach que relaciona perda de carga, fator de atrito, velocidade, comprimento e diâmetro:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Aqui h_f é a perda de carga (em metros), f é o fator de atrito (adimensional), L e D em metros, V em \mathrm{m/s} e g a gravidade \mathrm{m/s^2}. O fator f depende de Reynolds e da rugosidade relativa \epsilon/D; a relação exata é a equação implícita de Colebrook, mas em cálculo prático é comum usar a aproximação explícita de Swamee–Jain, que facilita iterações numéricas rápidas:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2},
com \mathrm{Re} = \dfrac{V D}{\nu}, sendo \nu a viscosidade cinemática do fluido.
Estratégia prática para a prova: montar uma iteração em D. A partir de uma aproximação inicial de D calcula-se \mathrm{Re}, obtém-se f pela fórmula de Swamee–Jain, e usa-se a forma rearranjada de Darcy–Weisbach para atualizar D:
D = \frac{f\,L\,V^2}{2g\,h_f}.
Repetir até convergência. Justificativa: a equação é não linear; esse procedimento converge rapidamente. Vou explicar cada fórmula e calcular passo a passo.

Passo 3

Constantes e conversões que vou usar (explicando por que):
  • converter a rugosidade para metros: \epsilon = 0{,}10\\ \mathrm{mm} = 0{,}00010\\ \mathrm{m}. (Unidades consistentes são cruciais.)
  • gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • viscosidade cinemática da água a 20^\circ\mathrm{C}: \nu = 1{,}003\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor tabelado; em provas costuma-se dar ou admitir este valor).
  • reorganizo a fórmula de Darcy–Weisbach para obter atualização de D. Defino a constante
A = L V^2,\qquad B = 2 g h_f,
de modo que a atualização fica simplesmente
D = \frac{f\,A}{B}.
Calculo os valores numéricos:
A = 350\cdot(8{,}5)^2 = 350\cdot72{,}25 = 25\,287{,}5,
B = 2\cdot9{,}81\cdot3{,}20 = 62{,}784.
Logo
\frac{A}{B} = \frac{25\,287{,}5}{62{,}784}\approx 402{,}78,
e portanto a relação prática será
D \approx 402{,}78\; f.
Comentário didático: isto mostra que o diâmetro é proporcional ao fator de atrito; como f depende de D, vamos iterar.

Passo 4

Explico a fórmula de Swamee–Jain e a definição de Reynolds (didática):
  • Reynolds é a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento; para escoamento interno:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
  • A fórmula de Swamee–Jain é uma aproximação explícita da solução da equação de Colebrook válida para escoamentos turbulentos (normalmente \mathrm{Re}\gtrsim 4000), e dá f em função de \epsilon/D e \mathrm{Re}:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Interpretação prática: para cada chute de D calcula-se \mathrm{Re}, depois f, e daí um novo D com D=402{,}78\,f. Repetir até que D não mude sensivelmente.

Passo 5

Iteração numérica (vou mostrar as etapas com os valores calculados a cada iteração; em prova explique que pode-se fazer 4–6 iterações até convergir). Tomarei um chute inicial razoável D_0=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Iteração 0 (chute inicial):
  • D_0 = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Re}_0 = \dfrac{V D_0}{\nu} = \dfrac{8{,}5\cdot1{,}0}{1{,}003\times10^{-6}}\approx 8{,}475\times10^{6}.
  • \dfrac{\epsilon}{3{,}7D_0} = \dfrac{0{,}00010}{3{,}7\cdot1{,}0} \approx 2{,}7027\times10^{-5}.
  • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}} é muito pequeno; calculando numericamente dá aproximadamente 3{,}28\times10^{-6}.
  • Soma interna do log: 3{,}03\times10^{-5}. Então
f_0 \approx 0{,}25\left[\log_{10}(3{,}03\times10^{-5})\right]^{-2}\approx 0{,}01225.
  • Atualizo D:
D_1 = 402{,}78\;f_0 \approx 402{,}78\cdot0{,}01225 \approx 4{,}94\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Segunda iteração:
  • D_1 = 4{,}94\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Re}_1 = \dfrac{8{,}5\cdot4{,}94}{1{,}003\times10^{-6}}\approx 4{,}18\times10^{7}.
  • \dfrac{\epsilon}{3{,}7D_1}\approx \dfrac{0{,}00010}{3{,}7\cdot4{,}94}\approx 5{,}48\times10^{-6}.
  • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}} é ainda menor (na ordem de 10^{-7}); soma ≈ 5{,}56\times10^{-6}.
  • Logo
f_1 \approx 0{,}00905.
  • Atualizo
D_2 = 402{,}78\cdot0{,}00905 \approx 3{,}65\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Terceira iteração:
  • D_2 = 3{,}65\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Re}_2 \approx \dfrac{8{,}5\cdot3{,}65}{1{,}003\times10^{-6}} \approx 3{,}09\times10^{7}.
  • \dfrac{\epsilon}{3{,}7D_2}\approx 7{,}42\times10^{-6}.
  • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_2^{0{,}9}}\approx 1{,}05\times10^{-6}.
  • Soma ≈ 8{,}47\times10^{-6} então
f_2 \approx 0{,}00972.
  • Atualizo
D_3 = 402{,}78\cdot0{,}00972 \approx 3{,}91\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Quarta iteração:
  • D_3 = 3{,}91\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Re}_3 \approx 3{,}32\times10^{7}.
  • \dfrac{\epsilon}{3{,}7D_3}\approx 6{,}91\times10^{-6}.
  • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}_3^{0{,}9}} da ordem 10^{-6}. Soma ≈ 7{,}00\times10^{-6}.
  • Então
f_3 \approx 0{,}00941,
e
D_4 = 402{,}78\cdot0{,}00941 \approx 3{,}79\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Quinta iteração:
  • D_4 = 3{,}79\\ \mathrm{m}.
  • Recalculando \mathrm{Re}_4, \epsilon/(3{,}7D_4) e o termo de \mathrm{Re}^{-0{,}9} obtemos
f_4 \approx 0{,}00965,
portanto
D_5 = 402{,}78\cdot0{,}00965 \approx 3{,}89\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Sexta iteração (cheque de convergência):
  • Com D_5 \approx 3{,}89\\ \mathrm{m} calcula-se novamente f_5 e obtém-se D_6 \approx 3{,}87\\ \mathrm{m}.
  • A variação entre iterações já é pequena (algumas unidades de 10^{-2}\\ \mathrm{m}), suficiente para um resultado de engenharia em prova. Também note que todas as Reynolds calculadas são muito grandes (maior que 4{,}000), ou seja, o escoamento é turbulento e o uso da fórmula de Swamee–Jain é adequado.

Passo 11

Interpretação final e observações práticas:
  • O procedimento convergiu para um diâmetro de ordem de alguns metros: isso significa que, para a velocidade V=8{,}5\\ \mathrm{m/s} e perda total tão pequena h_f=3{,}20\\ \mathrm{m} ao longo de 350\\ \mathrm{m}, é necessário um tubo grande para que a perda de carga seja tão baixa. Em prova, é importante checar ordem de grandeza: se você obtivesse um diâmetro muito pequeno isso indicaria erro.
  • Se fosse pedido, poderia-se apresentar o diâmetro comercial mais próximo ou recalcular a perda de carga com um diâmetro padrão.

Resposta

D \approx 3{,}87\\ \mathrm{m}

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