Determine o diâmetro de uma tubulação com 350 m de comprimento e rugosidade de 0,10 mm escoando uma vazão
a temperatura de 20 C com perda de carga de
.
Passo 1
O enunciado pede que se determine o diâmetro de uma tubulação, e nos dá os seguintes dados:
- comprimento da tubulação:
; - rugosidade absoluta:
(vou converter para metros mais adiante); - velocidade do escoamento:
(o enunciado fornece unidades de , então trata-se de velocidade, não de vazão volumétrica); - temperatura do fluido:
(vai servir para obter a viscosidade cinemática); - perda de carga (queda de carga total) no comprimento:
.
O que se pede: determinar o diâmetro interno
da tubulação que satisfaça esses dados.
Passo 2
Plano de resolução (sem resolver ainda): usar a equação de Darcy–Weisbach que relaciona perda de carga, fator de atrito, velocidade, comprimento e diâmetro:
Aqui
é a perda de carga (em metros),
é o fator de atrito (adimensional),
e
em metros,
em
e
a gravidade
. O fator
depende de Reynolds e da rugosidade relativa
; a relação exata é a equação implícita de Colebrook, mas em cálculo prático é comum usar a aproximação explícita de Swamee–Jain, que facilita iterações numéricas rápidas:
com
, sendo
a viscosidade cinemática do fluido.
Estratégia prática para a prova: montar uma iteração em
. A partir de uma aproximação inicial de
calcula-se
, obtém-se
pela fórmula de Swamee–Jain, e usa-se a forma rearranjada de Darcy–Weisbach para atualizar
:
Repetir até convergência. Justificativa: a equação é não linear; esse procedimento converge rapidamente. Vou explicar cada fórmula e calcular passo a passo.
Passo 3
Constantes e conversões que vou usar (explicando por que):
- converter a rugosidade para metros:
. (Unidades consistentes são cruciais.) - gravidade:
. - viscosidade cinemática da água a
: (valor tabelado; em provas costuma-se dar ou admitir este valor). - reorganizo a fórmula de Darcy–Weisbach para obter atualização de
. Defino a constante
de modo que a atualização fica simplesmente
Calculo os valores numéricos:
Logo
e portanto a relação prática será
Comentário didático: isto mostra que o diâmetro é proporcional ao fator de atrito; como
depende de
, vamos iterar.
Passo 4
Explico a fórmula de Swamee–Jain e a definição de Reynolds (didática):
- Reynolds é a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento; para escoamento interno:
- A fórmula de Swamee–Jain é uma aproximação explícita da solução da equação de Colebrook válida para escoamentos turbulentos (normalmente
), e dá em função de e :
Interpretação prática: para cada chute de
calcula-se
, depois
, e daí um novo
com
. Repetir até que
não mude sensivelmente.
Passo 5
Iteração numérica (vou mostrar as etapas com os valores calculados a cada iteração; em prova explique que pode-se fazer 4–6 iterações até convergir). Tomarei um chute inicial razoável
.
Iteração 0 (chute inicial):
-
. -
-
-
é muito pequeno; calculando numericamente dá aproximadamente . - Soma interna do log:
. Então
- Atualizo
:
Passo 6
Segunda iteração:
-
-
-
-
é ainda menor (na ordem de ); soma ≈ . - Logo
- Atualizo
Passo 7
Terceira iteração:
-
-
-
-
- Soma ≈
então
- Atualizo
Passo 8
Quarta iteração:
-
-
-
-
da ordem . Soma ≈ . - Então
e
Passo 9
Quinta iteração:
-
- Recalculando
, e o termo de obtemos
portanto
Passo 10
Sexta iteração (cheque de convergência):
- Com
calcula-se novamente e obtém-se . - A variação entre iterações já é pequena (algumas unidades de
), suficiente para um resultado de engenharia em prova. Também note que todas as Reynolds calculadas são muito grandes (maior que ), ou seja, o escoamento é turbulento e o uso da fórmula de Swamee–Jain é adequado.
Passo 11
Interpretação final e observações práticas:
- O procedimento convergiu para um diâmetro de ordem de alguns metros: isso significa que, para a velocidade
e perda total tão pequena ao longo de , é necessário um tubo grande para que a perda de carga seja tão baixa. Em prova, é importante checar ordem de grandeza: se você obtivesse um diâmetro muito pequeno isso indicaria erro. - Se fosse pedido, poderia-se apresentar o diâmetro comercial mais próximo ou recalcular a perda de carga com um diâmetro padrão.