Determine a diferencial (derivada total) da função
w=\frac{y}{1+x y z}

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de w definida por
w = \frac{y}{1 + x y z}.
O conteúdo é derivadas parciais e a definição de diferencial total. Para resolver, vamos calcular \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z} usando regra do produto e cadeia, e em seguida montar
\mathrm{d}w = \frac{\partial w}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial w}{\partial y}\,\mathrm{d}y + \frac{\partial w}{\partial z}\,\mathrm{d}z.

Passo 2

Para \frac{\partial w}{\partial x} tratamos y e z como constantes. Escrevendo
w = y\,(1 + x y z)^{-1},
usamos a regra da cadeia: a derivada de (1 + x y z)^{-1} em relação a x é -1\,(1 + x y z)^{-2}\cdot(y z). Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = y \cdot \bigl[-1\,(1 + x y z)^{-2}\cdot(y z)\bigr] = -\frac{y^{2}z}{(1 + x y z)^{2}}.

Passo 3

Para \frac{\partial w}{\partial y} aplicamos produto e cadeia. Temos
w = y\,(1 + x y z)^{-1},
então
\frac{\partial w}{\partial y} = (1 + x y z)^{-1} + y\cdot\bigl[-1\,(1 + x y z)^{-2}\cdot(x z)\bigr].
Colocando em denominador comum (1 + x y z)^{2}, o numerador fica 1 + x y z - x y z = 1. Logo,
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{(1 + x y z)^{2}}.

Passo 4

Para \frac{\partial w}{\partial z} tratamos x e y como constantes na cadeia:
\frac{\partial w}{\partial z} = y\cdot\bigl[-1\,(1 + x y z)^{-2}\cdot(x y)\bigr] = -\frac{x y^{2}}{(1 + x y z)^{2}}.

Passo 5

Reunindo tudo na definição de diferencial total:
\mathrm{d}w = -\frac{y^{2}z}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}x + \frac{1}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}y - \frac{x y^{2}}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}z.

Resposta

\mathrm{d}w = -\frac{y^{2}z}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}x + \frac{1}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}y - \frac{x y^{2}}{(1 + x y z)^{2}}\,\mathrm{d}z.

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