Determine a diferencial (derivada total) da função
z=x^{5} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de z = x^5 y^3. Este é um problema de derivada total, em que primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y e depois usamos a fórmula da diferencial total.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante. Aplicando a regra de potência:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^5 y^3\bigr) = 5x^4\,y^3.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante. Pela regra de potência:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^5 y^3\bigr) = 3x^5\,y^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferencial total,
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = 5x^4 y^3\,dx + 3x^5 y^2\,dy.

Resposta

dz = 5x^4 y^3\,dx + 3x^5 y^2\,dy.

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