Usando a regra da cadeia, determine \frac{d z}{d t} nos itens abaixo.
z=x^{2}+y^{3}, x=1+2 t, y=1-3 t

Passo 1

O enunciado dá a função composta
z = x^{2} + y^{3},
com x e y dependentes de t por
x = 1 + 2t, \qquad y = 1 - 3t.
O conteúdo é a regra da cadeia para derivar z(t)=z\bigl(x(t),y(t)\bigr). Vamos precisar de \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e temporais:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^{2}, \quad \frac{dx}{dt} = 2, \quad \frac{dy}{dt} = -3.
Logo,
\frac{dz}{dt} = 2x\cdot 2 \;+\; 3y^{2}\cdot(-3) = 4x \;-\; 9y^{2}.

Passo 4

Substituindo x=1+2t e y=1-3t:
\frac{dz}{dt} = 4(1+2t) \;-\; 9(1-3t)^{2} = 4 + 8t \;-\; 9\bigl(1 - 6t + 9t^{2}\bigr) = -5 + 62t - 81t^{2}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = -81\,t^{2} + 62\,t - 5.

Exercícios relacionados