Determine o diferencial da função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o diferencial da função $ y = \arctan(\sqrt{2x}) $. Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivados usando regras como a cadeia. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diferencial. O diferencial $ dy $ de uma função $ y = f(x) $ é dado por $ dy = f’(x) , dx $, onde $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $. Então, para encontrar $ dy $, precisamos primeiro encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Nossa função é $ y = \arctan(\sqrt{2x}) $. Isso é uma função composta, onde temos a função arctangente aplicada a $ \sqrt{2x} $. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se $ y = f(g(x)) $, então $ y’ = f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia aqui:
- Identifique $ f(u) = \arctan(u) $ e $ u = \sqrt{2x} $.
- Primeiro, vamos derivar $ f(u) $ em relação a $ u $: a derivada de $ \arctan(u) $ é $ \frac{1}{1 + u^2} $.
- Depois, derivamos $ u = \sqrt{2x} $ em relação a $ x $. A raiz quadrada pode ser escrita como potência $ (2x)^{1/2} $, e a derivada disso é $ \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}} $.
Passo 5
Agora, multiplicamos as derivadas encontradas conforme a regra da cadeia:
Simplificando $ (\sqrt{2x})^2 = 2x $, então temos:
Passo 6
Simplificando ainda mais a expressão:
Passo 7
Agora que temos a derivada $ y’ $, podemos escrever o diferencial $ dy $:
Resposta
O diferencial da função é