Determine o diferencial da função a seguir:
y=arctg(raiz2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o diferencial da função $ y = \arctan(\sqrt{2x}) $. Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivados usando regras como a cadeia. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial. O diferencial $ dy $ de uma função $ y = f(x) $ é dado por $ dy = f’(x) , dx $, onde $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $. Então, para encontrar $ dy $, precisamos primeiro encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Nossa função é $ y = \arctan(\sqrt{2x}) $. Isso é uma função composta, onde temos a função arctangente aplicada a $ \sqrt{2x} $. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se $ y = f(g(x)) $, então $ y’ = f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia aqui:
  1. Identifique $ f(u) = \arctan(u) $ e $ u = \sqrt{2x} $.
  2. Primeiro, vamos derivar $ f(u) $ em relação a $ u $: a derivada de $ \arctan(u) $ é $ \frac{1}{1 + u^2} $.
  3. Depois, derivamos $ u = \sqrt{2x} $ em relação a $ x $. A raiz quadrada pode ser escrita como potência $ (2x)^{1/2} $, e a derivada disso é $ \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}} $.

Passo 5

Agora, multiplicamos as derivadas encontradas conforme a regra da cadeia:
y' = 11 + (raiz2x)^2 cdot 1raiz2x
Simplificando $ (\sqrt{2x})^2 = 2x $, então temos:
(raiz2x)^2 = 2x

Passo 6

Simplificando ainda mais a expressão:
y' = 1(1 + 2x) raiz2x

Passo 7

Agora que temos a derivada $ y’ $, podemos escrever o diferencial $ dy $:
y'

Resposta

O diferencial da função é
dy = 1(1 + 2x) raiz2x , dx

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