Seja
a superfície formada pela intersecção de
e
, onde
é o cilindro de equação
é o disco de equação
no plano
e
o plano de equação
. Note que
é a lateral de
é a base de
e
é o topo de
.
Encontre uma parametrização para cada superfície.
Encontre uma parametrização para cada superfície.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para cada uma das três superfícies que formam o sólido $ S $. O que você precisa saber aqui envolve geometria analítica, especialmente noção de cilindros, discos e planos. Vamos usar coordenadas cartesianas e trigonometria básica para parametrizar cada superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar $ S_{1} $, que é o cilindro dado pela equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Um cilindro circular pode ser parametrizado usando um ângulo para representar $ x $ e $ y $, e uma variável para a altura $ z $.
Usamos:
Onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ z $ varia ao longo da altura do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar $ S_{2} $, que é o disco no plano $ z = 0 $ com a condição $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Para parametrizar um disco, usamos coordenadas polares, já que temos uma condição circular.
Usamos:
Onde $ r $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 4
Por fim, vamos parametrizar $ S_{3} $, que é o plano dado por $ z = 1 + x $. Esse plano é inclinado e temos que considerar os limites dados pelo cilindro e pelo disco.
Usamos:
Aqui, $ x $ e $ y $ devem satisfazer $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $ para garantir que estamos dentro da intersecção das superfícies.
Resposta
As parametrizações para cada superfície são:
- Cilindro $ S_{1} $:
- Disco $ S_{2} $:
- Plano $ S_{3} $: