Seja S a superfície formada pela intersecção de S1, S2 e S3, onde S1 é o cilindro de equação x^2+y^2=1, S2 é o disco de equação x^2+y^2 <= 1 no plano z=0 e S3 o plano de equação z=1+x. Note que S1 é a lateral de S, S2 é a base de S e S3 é o topo de S.
Encontre uma parametrização para cada superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para cada uma das três superfícies que formam o sólido $ S $. O que você precisa saber aqui envolve geometria analítica, especialmente noção de cilindros, discos e planos. Vamos usar coordenadas cartesianas e trigonometria básica para parametrizar cada superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar $ S_{1} $, que é o cilindro dado pela equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Um cilindro circular pode ser parametrizado usando um ângulo para representar $ x $ e $ y $, e uma variável para a altura $ z $.
Usamos:
S1
Onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ e $ z $ varia ao longo da altura do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar $ S_{2} $, que é o disco no plano $ z = 0 $ com a condição $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $. Para parametrizar um disco, usamos coordenadas polares, já que temos uma condição circular.
Usamos:
S2
Onde $ r $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 4

Por fim, vamos parametrizar $ S_{3} $, que é o plano dado por $ z = 1 + x $. Esse plano é inclinado e temos que considerar os limites dados pelo cilindro e pelo disco.
Usamos:
S3
Aqui, $ x $ e $ y $ devem satisfazer $ x^{2} + y^{2} \leqslant 1 $ para garantir que estamos dentro da intersecção das superfícies.

Resposta

As parametrizações para cada superfície são:
  1. Cilindro $ S_{1} $:
S1
  1. Disco $ S_{2} $:
r(theta, z) = ( cos(theta), sin(theta), z ), 0 <= theta < 2pi, z in R
  1. Plano $ S_{3} $:
S2

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