Seja F(x, y, z)=x z i+y z j+x y k um campo vetorial.
Utilize o item (b) para calcular
integral duplaS(nabla times F) cdot d S
onde S é o disco no plano z=raiz3 dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaS(nablatimesF)cdot dS onde F(x,y,z)=xz,i+yz,j+xy,k e S é o disco de raio 1 no plano z=raiz3. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de F à integral de linha de F ao longo da fronteira de S.

Passo 2

Calcular o rotacional de F:
[\nabla\times\mathbf{F}==(x-y),\mathbf{i}+(x-y),\mathbf{j}+0,\mathbf{k}.\n]

Passo 3

Como S é o disco horizontal em z=raiz3, o vetor normal unitário pode ser tomado como n=k. Logo, em qualquer ponto de S temos
[(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(x-y,,x-y,,0)\cdot(0,0,1)=0.]

Passo 4

Portanto, a integral de superfície é nula, pois o integrando é zero em todo o disco.

Resposta

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