Seja
um campo vetorial.
Utilize o item (b) para calcular
onde
é o disco no plano
dentro do cilindro
.
Utilize o item (b) para calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o disco de raio 1 no plano
. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
à integral de linha de
ao longo da fronteira de
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
:
[\nabla\times\mathbf{F}==(x-y),\mathbf{i}+(x-y),\mathbf{j}+0,\mathbf{k}.\n]
[\nabla\times\mathbf{F}==(x-y),\mathbf{i}+(x-y),\mathbf{j}+0,\mathbf{k}.\n]
Passo 3
Como
é o disco horizontal em
, o vetor normal unitário pode ser tomado como
. Logo, em qualquer ponto de
temos
[(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(x-y,,x-y,,0)\cdot(0,0,1)=0.]
[(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(x-y,,x-y,,0)\cdot(0,0,1)=0.]
Passo 4
Portanto, a integral de superfície é nula, pois o integrando é zero em todo o disco.
Resposta
0