Determine a diferencial da função:
u=x \operatorname{cosh} \left(x+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função u = x \operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) e pede para determinar a diferencial dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis independentes x e y.
  • É preciso encontrar du, a diferencial total de u.

Passo 2

O que é a diferencial de uma função de duas variáveis? Se u(x,y) é diferenciável, a diferencial total é
du = \frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \frac{\partial u}{\partial y}\,dy.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} são as derivadas parciais de u em relação a x e y, respectivamente; dx e dy são incrementos independentes.
Regras que vamos usar (lembrete):
  • Regra do produto para derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f(x,y)\,g(x,y)\bigr)=\frac{\partial f}{\partial x}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial x}.
  • Regra da cadeia para uma função composta \operatorname{cosh}(h(x,y)):
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{cosh}\bigl(h(x,y)\bigr)=\operatorname{sinh}\bigl(h(x,y)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial x},
pois \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.

Passo 3

Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Temos u(x,y)=x\cdot \operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr). Aplicando a regra do produto em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x)\cdot \operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr).
Agora calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,
e pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) = \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y^{2}) = \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\cdot 1.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} = \operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) + x\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular a derivada parcial \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Novamente u=x\cdot\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr). Ao derivar em relação a y, o fator x é tratado como constante:
\frac{\partial u}{\partial y} = x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) = \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y^{2}) = \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\cdot 2y.
Logo
\frac{\partial u}{\partial y} = 2xy\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr).

Passo 5

Montar a diferencial total usando du = u_x\,dx + u_y\,dy e os resultados obtidos:
du = \bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) + x\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\bigr)\,dx + \bigl(2xy\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\bigr)\,dy.
Como forma alternativa (opcional), pode-se fatorar \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) parcialmente:
du = \operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\,dx + \operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\bigl(x\,dx + 2xy\,dy\bigr).

Resposta

du = \bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr) + x\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\bigr)\,dx + \bigl(2xy\,\operatorname{sinh}\!\bigl(x+y^{2}\bigr)\bigr)\,dy

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