Determine a diferencial da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a diferencial dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de duas variáveis independentes
e . - É preciso encontrar
, a diferencial total de .
Passo 2
O que é a diferencial de uma função de duas variáveis? Se
é diferenciável, a diferencial total é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente;
e
são incrementos independentes.
Regras que vamos usar (lembrete):
- Regra do produto para derivadas parciais:
- Regra da cadeia para uma função composta
:
pois
.
Passo 3
Calcular a derivada parcial
.
Temos
. Aplicando a regra do produto em relação a
:
Agora calcule cada termo:
e pela regra da cadeia
Portanto
Passo 4
Calcular a derivada parcial
.
Novamente
. Ao derivar em relação a
, o fator
é tratado como constante:
Aplicando a regra da cadeia:
Logo
Passo 5
Montar a diferencial total usando
e os resultados obtidos:
Como forma alternativa (opcional), pode-se fatorar
parcialmente: