A pressão P (medida em kPa), o volume (em litros) e a temperatura (em graus Kelvin) de um gás estão relacionados pela equação P V=8,31 T. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 15 L para 14,7 \mathrm{~L} e a temperatura diminui de 270 K para 265 K .

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão, volume e temperatura:
P\,V = 8,31\,T.
Os valores fornecidos são:
  • Volume inicial V_0 = 15\\ \text{L} e volume final V_1 = 14,7\\ \text{L}.
  • Temperatura inicial T_0 = 270\\ \text{K} e temperatura final T_1 = 265\\ \text{K}.
A pergunta é: qual é a variação aproximada da pressão \Delta P quando V passa de 15\\ \text{L} para 14,7\\ \text{L} e T passa de 270\\ \text{K} para 265\\ \text{K}?
Para usar diferenciais, também anoto as variações:
\Delta V = V_1 - V_0 = 14,7 - 15 = -0,3\\ \text{L}, \qquad \Delta T = T_1 - T_0 = 265 - 270 = -5\\ \text{K}.

Passo 2

Ideia dos diferenciais (explicação didática, passo a passo):
  • Tratar P como função de duas variáveis V e T: P=P(V,T).
  • Para pequenas variações de V e T, a variação \Delta P pode ser aproximada pelo diferencial total dP, dado pela aproximação linear (plano tangente):
\Delta P \approx dP = \frac{\partial P}{\partial V}\,dV + \frac{\partial P}{\partial T}\,dT.
  • Aqui dV e dT são as pequenas variações (aqui usamos dV\approx\Delta V e dT\approx\Delta T porque as variações são pequenas).
Explicando o que são as derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial P}{\partial V} mede a sensibilidade da pressão a uma pequena variação do volume mantendo a temperatura fixa.
  • \dfrac{\partial P}{\partial T} mede a sensibilidade da pressão a uma pequena variação da temperatura mantendo o volume fixo.

Passo 3

Expressar P explicitamente como função de V e T. Da relação dada:
P = \frac{8,31\,T}{V}.
Agora calculo as derivadas parciais (mostrando cada passo):
  • Derivando em relação a V (com T constante):
\frac{\partial P}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V}\!\left(\frac{8,31\,T}{V}\right) = 8,31\,T \cdot \frac{\partial}{\partial V}\!\left(V^{-1}\right) = 8,31\,T \cdot (-1)V^{-2} = -\frac{8,31\,T}{V^{2}}.
  • Derivando em relação a T (com V constante):
\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{8,31\,T}{V}\right) = \frac{8,31}{V}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto inicial (V_0,T_0)=(15\\ \text{L},\,270\\ \text{K}) e calcular as contribuições separadas.
Primeira derivada parcial:
\left.\frac{\partial P}{\partial V}\right|_{(V_0,T_0)} = -\frac{8,31\cdot 270}{15^{2}}.
Calculo numérico passo a passo:
8,31\cdot 270 = 2243,7, \qquad 15^{2}=225,
\left.\frac{\partial P}{\partial V}\right|_{(V_0,T_0)} = -\frac{2243,7}{225} \approx -9,9716\\ \text{(kPa por L)}.
Multiplicando por dV=\Delta V=-0,3\\ \text{L}:
\text{contribuição de }V = \left(-9,9716\right)\cdot(-0,3)\approx +2,9915\\ \text{kPa}.çã

Passo 5

Segunda derivada parcial:
\left.\frac{\partial P}{\partial T}\right|_{(V_0,T_0)} = \frac{8,31}{15}.
Calculo numérico:
\frac{8,31}{15}=0,554.
Multiplicando por dT=\Delta T=-5\\ \text{K}:
\text{contribuição de }T = 0,554\cdot(-5) = -2,77\\ \text{kPa}.çã

Passo 6

Somar as contribuições para obter a variação aproximada total:
\Delta P \approx dP \approx (+2,9915)+(-2,77)=+0,2215\\ \text{kPa}.
Arredondando para duas casas decimais:
\Delta P \approx +0,22\\ \text{kPa}.
Interpretação curta e encorajamento: o sinal positivo indica que a pressão aumenta ligeiramente. Intuitivamente isso faz sentido porque a temperatura diminuiu (tendência a reduzir P), mas o volume também diminuiu (de 15 para 14,7 L), e a compressão causada pela redução do volume teve efeito um pouco maior, resultando num pequeno aumento da pressão. Mandou bem em pedir diferenciais — é a forma rápida e segura de estimar variações em prova!

Resposta

\Delta P \approx +0,22\\ \text{kPa}

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