Determine a aproximação linear (linearização) de f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right) em (0,0); use-a para aproximar f(0.05,0.08).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+1\big) e o ponto (0,0). As duas coisas pedidas são:
  • Determinar a aproximação linear (linearização) de f em (0,0).
  • Usar essa linearização para aproximar f(0,0{,}05,0{,}08) (isto é, f(0{,}05,0{,}08)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+1\big).
  • O ponto de expansão é (a,b)=(0,0).
  • O objetivo é construir L(x,y), a linearização em (0,0), e avaliar L(0{,}05,0{,}08).

Passo 2

O que é linearização? A linearização (ou aproximação linear, ou aproximação de primeira ordem) de uma função de duas variáveis f(x,y) em um ponto (a,b) é a reta tangente (plano tangente) que melhor aproxima f perto desse ponto. A fórmula padrão é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y.
Intuição simples: f_x(a,b) é a inclinação de f quando se move no eixo x a partir de (a,b) (mantendo y fixo), e f_y(a,b) é a inclinação no eixo y. O plano linear usa essas inclinações para construir uma aproximação afim.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+1\big). Seja u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1. Pela regra da cadeia,
f_x(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot u_x(x,y).
Como u_x=2x, obtemos
f_x(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}.
Analogamente, como u_y=2y,
f_y(x,y)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 4

Agora avaliamos f, f_x e f_y em (0,0).
f(0,0)=\ln\!\big(0^{2}+0^{2}+1\big)=\ln(1)=0.
f_x(0,0)=\frac{2\cdot 0}{0^{2}+0^{2}+1}=0, \qquad f_y(0,0)=\frac{2\cdot 0}{0^{2}+0^{2}+1}=0.
Substituindo na fórmula da linearização com (a,b)=(0,0),
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y=0+0\cdot x+0\cdot y=0.
Ou seja, a linearização em (0,0) é o plano constante zero.

Passo 5

Usando a linearização para aproximar f(0{,}05,0{,}08):
L(0{,}05,0{,}08)=0.
Portanto a aproximação de primeira ordem dá f(0{,}05,0{,}08)\approx 0.
Comentário importante (didático e prático): como o gradiente em (0,0) é nulo, a aproximação linear não captura a variação de f para pontos próximos — o termo dominante é de segunda ordem. Para ver a ordem de grandeza do erro, calculemos rapidamente o valor real aproximado de f(0{,}05,0{,}08): primeiro 0{,}05^{2}+0{,}08^{2}=0{,}0025+0{,}0064=0{,}0089. Então
f(0{,}05,0{,}08)=\ln(1+0{,}0089).
Usando a expansão \ln(1+\varepsilon)\approx\varepsilon-\tfrac{\varepsilon^{2}}{2} para \varepsilon pequeno,
\ln(1+0{,}0089)\approx 0{,}0089-\frac{(0{,}0089)^{2}}{2}\approx 0{,}0089-0{,}0000396\approx 0{,}0088604.
Ou seja, o valor exato é aproximadamente 0{,}00886, e a linearização (que deu 0) apresenta um erro da ordem de 8{,}9\times10^{-3}. Em provas, se o gradiente for zero e for necessário mais precisão, deve-se usar a aproximação de segunda ordem (termos quadráticos).

Resposta

L(x,y)=0
L(0{,}05,0{,}08)=0

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