Determine a aproximação linear (linearização) de
em
; use-a para aproximar
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. As duas coisas pedidas são:
- Determinar a aproximação linear (linearização) de
em . - Usar essa linearização para aproximar
(isto é, ).
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O ponto de expansão é
. - O objetivo é construir
, a linearização em , e avaliar .
Passo 2
O que é linearização? A linearização (ou aproximação linear, ou aproximação de primeira ordem) de uma função de duas variáveis
em um ponto
é a reta tangente (plano tangente) que melhor aproxima
perto desse ponto. A fórmula padrão é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Intuição simples: é a inclinação de
quando se move no eixo
a partir de
(mantendo
fixo), e
é a inclinação no eixo
. O plano linear usa essas inclinações para construir uma aproximação afim.
Intuição simples:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Seja
. Pela regra da cadeia,
Como
, obtemos
Analogamente, como
,
Passo 4
Agora avaliamos
,
e
em
.
Substituindo na fórmula da linearização com
,
Ou seja, a linearização em
é o plano constante zero.
Passo 5
Usando a linearização para aproximar
:
Portanto a aproximação de primeira ordem dá
.
Comentário importante (didático e prático): como o gradiente em
é nulo, a aproximação linear não captura a variação de
para pontos próximos — o termo dominante é de segunda ordem. Para ver a ordem de grandeza do erro, calculemos rapidamente o valor real aproximado de
: primeiro
. Então
Usando a expansão
para
pequeno,
Ou seja, o valor exato é aproximadamente
, e a linearização (que deu
) apresenta um erro da ordem de
. Em provas, se o gradiente for zero e for necessário mais precisão, deve-se usar a aproximação de segunda ordem (termos quadráticos).