Em cada caso abaixo, explique por que a função dada é diferenciável no ponto P indicado, determine a linearização L(x, y) no ponto P, e obtenha a equação do plano tangente no ponto correspondente do gráfico:
g(x, y)=\operatorname{sen}(x-y), P=(\pi, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado fornece a função g e o ponto P:
  • Função: g(x,y)=\sin(x-y).
  • Ponto: P=(\pi,\tfrac{\pi}{2}).
O que pede o exercício:
  1. Explicar por que g é diferenciável no ponto P.
  2. Determinar a linearização L(x,y) de g no ponto P.
  3. Obter a equação do plano tangente ao gráfico de z=g(x,y) no ponto correspondente.
Todas as informações relevantes já estão acima: a expressão de g e as coordenadas de P. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito e critério prático de diferenciabilidade (explicação didática).
  • Definição (informal mas precisa): A função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em P=(x_0,y_0) se existe uma aproximação linear (um mapa linear) que aproxima g perto de P com erro muito menor que a distância até P. Formalmente, existe uma forma linear L tal que, chamando h=(x-x_0,y-y_0), g(x_0+h_x,y_0+h_y)=g(x_0,y_0)+L(h_x,h_y)+o(\|(h_x,h_y)\|),onde o(\|(h_x,h_y)\|) significa que o resto dividido por \|(h_x,h_y)\| tende a 0 quando (h_x,h_y)\to(0,0).
  • Critério prático muito usado na prova: se as derivadas parciais \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y} existem numa vizinhança de P e são contínuas em P, então g é diferenciável em P. Isso evita ter que verificar o limite com o(\cdot) diretamente.
Agora vamos aplicar esse critério à função dada.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de g(x,y)=\sin(x-y), com explicação passo a passo (cadeia simples).
  • Pense em u(x,y)=x-y. Então g(x,y)=\sin(u(x,y)).
  • Derivada parcial em relação a x: pela regra da cadeia, \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\cos(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=\cos(x-y)\cdot 1=\cos(x-y).Explicação: derivada de \sin(u) é \cos(u) vezes a derivada de u em relação a x; como u=x-y, \partial u/\partial x=1.
  • Derivada parcial em relação a y: similarmente, \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\cos(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=\cos(x-y)\cdot(-1)=-\cos(x-y).Explicação: \partial u/\partial y=-1.
Observação sobre continuidade: a função \cos(x-y) é contínua em todo \mathbb{R}^2 (produto e soma de funções contínuas). Portanto as duas derivadas parciais existem em toda parte e são contínuas em particular no ponto P.
Conclusão desse passo: pelas condições acima, g é diferenciável em P.

Passo 4

Avaliação dos valores em P (passo chave para a linearização).
  • Primeiro calcule x-y em P: \pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}.
  • Valor da função em P: g(\pi,\tfrac{\pi}{2})=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
  • Valores das derivadas parciais em P: \frac{\partial g}{\partial x}(\pi,\tfrac{\pi}{2})=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
\frac{\partial g}{\partial y}(\pi,\tfrac{\pi}{2})=-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Explicação curta: \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, portanto ambas as derivadas parciais valem 0 no ponto.

Passo 5

Fórmula da linearização (o que é a linearização e por que serve).
  • A linearização de g em P=(x_0,y_0) é a aproximação afim de primeira ordem: L(x,y)=g(x_0,y_0)+\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0)+\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).Aqui x_0=\pi e y_0=\tfrac{\pi}{2}. Essa fórmula vem diretamente da expansão linear (o termo constante mais os coeficientes das variações).

Passo 6

Substituição dos valores para obter L(x,y).
  • Usando os resultados do Passo 4: L(x,y)=1 + 0\cdot(x-\pi)+0\cdot\bigl(y-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Portanto L(x,y)=1.
Interpretação: a aproximação linear de primeira ordem de g perto de P é simplesmente a constante 1. Isso acontece porque o gradiente em P é (0,0).

Passo 7

Equação do plano tangente ao gráfico z=g(x,y) no ponto correspondente.
  • O gráfico de g tem ponto correspondente \bigl(\pi,\tfrac{\pi}{2},\,g(\pi,\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(\pi,\tfrac{\pi}{2},1).
  • A equação geral do plano tangente em termos da linearização é z=L(x,y).
  • Substituindo L(x,y)=1, obtemos z=1.
  • Forma alternativa (subtraindo o ponto): z-1=0\cdot(x-\pi)+0\cdot\bigl(y-\tfrac{\pi}{2}\bigr), que simplifica para z=1.
Interpretação geométrica: o plano tangente é o plano horizontal de altura 1 — o gráfico tem inclinação zero nas direções x e y naquele ponto.

Passo 8

Comentário extra didático sobre o resto da aproximação (ajuda para a prova).
  • Se desejar justificar diretamente que o resto é o(\|(h_x,h_y)\|), pode-se expandir usando a série de Taylor de \sin em torno de \tfrac{\pi}{2}: \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+t\Bigr)=1+\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,t+O(t^2)=1+0\cdot t+O(t^2)=1+O(t^2).Tomando t=(x-\pi)-(y-\tfrac{\pi}{2}), o termo linear some porque \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, e o resto é da ordem quadrática em t, logo é o(\|(h_x,h_y)\|). Isso confirma diretamente a diferenciabilidade e explica por que a linearização é constante.
Força aí — a resposta ficou simples no final: funcionou porque as derivadas deram zero, então o plano tangente é horizontal.

Resposta

A função é diferenciável em P.
L(x,y)=1.
Plano tangente: z=1.

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