Em cada caso abaixo, explique por que a função dada é diferenciável no ponto
indicado, determine a linearização
no ponto
, e obtenha a equação do plano tangente no ponto correspondente do gráfico:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e o ponto
:
- Função:
. - Ponto:
.
O que pede o exercício:
- Explicar por que
é diferenciável no ponto . - Determinar a linearização
de no ponto . - Obter a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto correspondente.
Todas as informações relevantes já estão acima: a expressão de
e as coordenadas de
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito e critério prático de diferenciabilidade (explicação didática).
- Definição (informal mas precisa): A função
é diferenciável em se existe uma aproximação linear (um mapa linear) que aproxima perto de com erro muito menor que a distância até . Formalmente, existe uma forma linear tal que, chamando , onde significa que o resto dividido por tende a quando . - Critério prático muito usado na prova: se as derivadas parciais
e existem numa vizinhança de e são contínuas em , então é diferenciável em . Isso evita ter que verificar o limite com diretamente.
Agora vamos aplicar esse critério à função dada.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
, com explicação passo a passo (cadeia simples).
- Pense em
. Então . - Derivada parcial em relação a
: pela regra da cadeia, Explicação: derivada de é vezes a derivada de em relação a ; como , . - Derivada parcial em relação a
: similarmente, Explicação: .
Observação sobre continuidade: a função
é contínua em todo
(produto e soma de funções contínuas). Portanto as duas derivadas parciais existem em toda parte e são contínuas em particular no ponto
.
Conclusão desse passo: pelas condições acima,
é diferenciável em
.
Passo 4
Avaliação dos valores em
(passo chave para a linearização).
- Primeiro calcule
em : - Valor da função em
: - Valores das derivadas parciais em
:
Explicação curta:
, portanto ambas as derivadas parciais valem
no ponto.
Passo 5
Fórmula da linearização (o que é a linearização e por que serve).
- A linearização de
em é a aproximação afim de primeira ordem: Aqui e . Essa fórmula vem diretamente da expansão linear (o termo constante mais os coeficientes das variações).
Passo 6
Substituição dos valores para obter
.
- Usando os resultados do Passo 4:
- Portanto
Interpretação: a aproximação linear de primeira ordem de
perto de
é simplesmente a constante
. Isso acontece porque o gradiente em
é
.
Passo 7
Equação do plano tangente ao gráfico
no ponto correspondente.
- O gráfico de
tem ponto correspondente . - A equação geral do plano tangente em termos da linearização é
- Substituindo
, obtemos - Forma alternativa (subtraindo o ponto):
, que simplifica para .
Interpretação geométrica: o plano tangente é o plano horizontal de altura
— o gráfico tem inclinação zero nas direções
e
naquele ponto.
Passo 8
Comentário extra didático sobre o resto da aproximação (ajuda para a prova).
- Se desejar justificar diretamente que o resto é
, pode-se expandir usando a série de Taylor de em torno de : Tomando , o termo linear some porque , e o resto é da ordem quadrática em , logo é . Isso confirma diretamente a diferenciabilidade e explica por que a linearização é constante.
Força aí — a resposta ficou simples no final: funcionou porque as derivadas deram zero, então o plano tangente é horizontal.
Resposta
A função é diferenciável em
.
Plano tangente:
Plano tangente: