Determine o diferencial da função.
u=x y e^{x}

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total da função \,u = x\,y\,e^x.
Para isso precisamos usar o conceito de diferencial de função de duas variáveis, que se baseia nas derivadas parciais:
du = \frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \frac{\partial u}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante e aplicando a regra do produto em u = x\,y\,e^x. Primeiro derivamos x\,y (ficando y) e multiplicamos por e^x; depois mantemos x\,y e derivamos e^x:
\frac{\partial u}{\partial x} = y\,e^x + x\,y\,e^x = y\,e^x\,(1+x).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} tratando x e e^x como constantes na derivação em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y} = x\,e^x.

Passo 4

Substituir as derivadas parciais na fórmula do diferencial total:
du = \bigl(y\,e^x\,(1+x)\bigr)\,dx + \bigl(x\,e^x\bigr)\,dy.

Resposta

du = y\,e^x\,(1+x)\,dx + x\,e^x\,dy.

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