16- Dada a função w=x^{2}+y^{2}+z^{2} e sabendo que x=r \cos \theta \operatorname{sen} \lambda, y= r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \lambda e z=r \cos \lambda, calcular as derivadas parciais de 1^{\circ} ordem da função w em relação a r, \theta e \lambda.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de w=x^2+y^2+z^2 em relação às variáveis esféricas r,\theta,\lambda, onde
x = r\cos\theta\operatorname{sen}\lambda,\quad y = r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\lambda,\quad z = r\cos\lambda.
O conteúdo principal aqui é usar a transformação para coordenadas esféricas e a regra da cadeia (ou notar diretamente que w se simplifica a uma função de r só).

Passo 2

Substituindo x,y,z em w temos
w(r,\theta,\lambda) = \bigl(r\cos\theta\operatorname{sen}\lambda\bigr)^{2} + \bigl(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\lambda\bigr)^{2} + \bigl(r\cos\lambda\bigr)^{2}.
Agrupando,
w = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\lambda + \operatorname{sen}^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\lambda + \cos^{2}\lambda\bigr) = r^{2}\bigl(\operatorname{sen}^{2}\lambda(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta)+\cos^{2}\lambda\bigr).
Como \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1 e \operatorname{sen}^{2}\lambda+\cos^{2}\lambda=1, resulta
w(r,\theta,\lambda)=r^{2}.

Passo 3

Derivando em relação a r, tratando \theta e \lambda como constantes:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\bigr) = 2r.

Passo 4

Derivando em relação a \theta, vendo que w(r,\theta,\lambda)=r^{2} não depende de \theta:
\frac{\partial w}{\partial \theta} = 0.

Passo 5

Derivando em relação a \lambda, visto que w(r,\theta,\lambda)=r^{2} não depende de \lambda:
\frac{\partial w}{\partial \lambda} = 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}=2r,\quad \frac{\partial w}{\partial \theta}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial \lambda}=0.

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