17- Suponha que as funções diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0 sejam definidas implicitamente pelo sistema.
\left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}=z^{2} \\\ x+y=2 \end{array}\right.
Determinar as derivadas \frac{d y}{d x} e \frac{d z}{d x}.

Passo 1

O enunciado define duas funções y=y(x)\) e \(z=z(x)\) (com \(z>0\)) por meio do sistema implícito \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}=z^{2},\\\ x+y=2. \end{cases}
O conteúdo aqui é diferenciação implícita de um sistema para encontrar \tfrac{dy}{dx}\] e \(\tfrac{dz}{dx}.

Passo 2

Da segunda equação temos
x+y=2
\implies y=2-x.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{dy}{dx}=0-1=-1.

Passo 3

Agora diferenciamos a primeira equação
x^{2}+y^{2}=z^{2}
em relação a x. Aplicando derivada termo a termo:
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 2z\,\frac{dz}{dx}.
Dividindo por 2:
x + y\,\frac{dy}{dx} = z\,\frac{dz}{dx}.
Substituindo \tfrac{dy}{dx}=-1:
x + y\cdot(-1) = z\,\frac{dz}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = \frac{x - y}{z}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -1
\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{x - y}{z}

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