(1 ponto) Considere o polinômio
. Primeiro, calcule todas as raízes de
e chame estas raízes de
e
. Assim sendo, o corpo de decomposição do polinômio
é
. Agora, encontre
tais que
, ou seja, reduza a extensão de quatro adjunções para apenas duas.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede duas coisas: (i) calcular todas as raízes de
e chamá‑las de
; (ii) encontrar
tais que
ou seja, mostrar que a extensão gerada pelas quatro adjunções pode ser obtida por apenas duas adjunções. Informação relevante dada: o polinômio
e a definição do corpo de decomposição como
.
Passo 2
Vamos achar as raízes de
. Começo reescrevendo a equação
como
Uma forma prática é fazer a substituição
. Então obtemos
cuja solução é
. Volto à variável
. Se
então
. Se
então
. Portanto as quatro raízes são
Passo 3
Agora interpreto o corpo de decomposição. Pelo enunciado temos
isto é, o menor corpo contendo
e todas as quatro raízes encontradas. Vou propor dois geradores simples que parecem suficientes: tomar
Primeiro mostro que todos os
estão em
. De fato,
e
Logo
, portanto
Passo 4
Agora a inclusão contrária: mostrar que
e
estão em
. Como definimos explicitamente as
no Passo 2, isso é direto:
, então
. Para
, podemos usar a relação entre as raízes:
Como
e
pertencem a
e
, o quociente também pertence a esse corpo. Assim
. Portanto
Passo 5
Com as duas inclusões obtidas nos Passos 3 e 4 concluímos a igualdade dos corpos:
Comentário didático rápido: aqui usamos que gerar um corpo por vários elementos significa que qualquer combinação racional desses elementos (somas, produtos, inversos dos não nulos) pertence ao corpo gerado; portanto se cada
é expressível através de
e
, então o corpo das
fica contido em
, e vice‑versa quando
e
são expressíveis em termos das
.
Passo 6
Breve nota sobre graus:
e os polinômios
e
são irrredutíveis em
. Assim
e
. Como
(um é imaginário puro, o outro corpo é subconjunto de
), o grau do corpo de decomposição sobre
é
, coerente com precisar de duas adjunções de grau 2 cada uma para obter o corpo de decomposição.