(1 ponto) Considere o polinômio f=x^{4}-36. Primeiro, calcule todas as raízes de f e chame estas raízes de \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} e \alpha_{4}. Assim sendo, o corpo de decomposição do polinômio f é \mathbb{Q}\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right]. Agora, encontre \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbb{C} tais que \mathbb{Q}\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right]=\mathbb{Q}\left[\beta_{1}, \beta_{2}\right], ou seja, reduza a extensão de quatro adjunções para apenas duas.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f=x^{4}-36 e pede duas coisas: (i) calcular todas as raízes de f e chamá‑las de \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}; (ii) encontrar \beta_{1},\beta_{2}\in\mathbb{C} tais que
\mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big]=\mathbb{Q}\big[\beta_{1},\beta_{2}\big],
ou seja, mostrar que a extensão gerada pelas quatro adjunções pode ser obtida por apenas duas adjunções. Informação relevante dada: o polinômio f e a definição do corpo de decomposição como \mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big].

Passo 2

Vamos achar as raízes de f. Começo reescrevendo a equação x^{4}-36=0 como
x^{4}=36.
Uma forma prática é fazer a substituição y=x^{2}. Então obtemos
y^{2}=36,
cuja solução é y=\pm 6. Volto à variável x. Se x^{2}=6 então x=\pm\sqrt{6}. Se x^{2}=-6 então x=\pm\sqrt{-6}=\pm i\sqrt{6}. Portanto as quatro raízes são
\alpha_{1}=\sqrt{6},\qquad \alpha_{2}=-\sqrt{6},\qquad \alpha_{3}=i\sqrt{6},\qquad \alpha_{4}=-i\sqrt{6}.

Passo 3

Agora interpreto o corpo de decomposição. Pelo enunciado temos
\mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big],
isto é, o menor corpo contendo \mathbb{Q} e todas as quatro raízes encontradas. Vou propor dois geradores simples que parecem suficientes: tomar
\beta_{1}=\sqrt{6}\quad\text{e}\quad \beta_{2}=i.
Primeiro mostro que todos os \alpha_{j} estão em \mathbb{Q}(\beta_{1},\beta_{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{6},i). De fato,
\alpha_{1}=\sqrt{6}=\beta_{1},\qquad \alpha_{2}=-\sqrt{6}=-\beta_{1},
e
\alpha_{3}=i\sqrt{6}=\beta_{2}\cdot\beta_{1},\qquad \alpha_{4}=-i\sqrt{6}=-\beta_{2}\cdot\beta_{1}.
Logo \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\in\mathbb{Q}(\beta_{1},\beta_{2}), portanto
\mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big]\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{6},i).

Passo 4

Agora a inclusão contrária: mostrar que \sqrt{6} e i estão em \mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big]. Como definimos explicitamente as \alpha_{j} no Passo 2, isso é direto: \alpha_{1}=\sqrt{6}, então \sqrt{6}\in\mathbb{Q}(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{4}). Para i, podemos usar a relação entre as raízes:
\frac{\alpha_{3}}{\alpha_{1}}=\frac{i\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=i.
Como \alpha_{3} e \alpha_{1} pertencem a \mathbb{Q}(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{4}) e \alpha_{1}\neq 0, o quociente também pertence a esse corpo. Assim i\in\mathbb{Q}(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{4}). Portanto
\mathbb{Q}(\sqrt{6},i)\subseteq\mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big].

Passo 5

Com as duas inclusões obtidas nos Passos 3 e 4 concluímos a igualdade dos corpos:
\mathbb{Q}\big[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\big]=\mathbb{Q}(\sqrt{6},i).
Comentário didático rápido: aqui usamos que gerar um corpo por vários elementos significa que qualquer combinação racional desses elementos (somas, produtos, inversos dos não nulos) pertence ao corpo gerado; portanto se cada \alpha_{j} é expressível através de \sqrt{6} e i, então o corpo das \alpha_{j} fica contido em \mathbb{Q}(\sqrt{6},i), e vice‑versa quando i e \sqrt{6} são expressíveis em termos das \alpha_{j}.

Passo 6

Breve nota sobre graus: x^{4}-36=(x^{2}-6)(x^{2}+6) e os polinômios x^{2}-6 e x^{2}+6 são irrredutíveis em \mathbb{Q}[x]. Assim [\mathbb{Q}(\sqrt{6}):\mathbb{Q}]=2 e [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2. Como i\notin\mathbb{Q}(\sqrt{6}) (um é imaginário puro, o outro corpo é subconjunto de \mathbb{R}), o grau do corpo de decomposição sobre \mathbb{Q} é 2\cdot 2=4, coerente com precisar de duas adjunções de grau 2 cada uma para obter o corpo de decomposição.

Resposta

\beta_{1}=\sqrt{6}
\beta_{2}=i

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