Determine a diferencial das funções:
f(x)=2 x1+x^2

Passo 1

Vamos resolver a diferencial da função . Esse exercício envolve o estudo de derivadas, mais especificamente a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra para encontrar .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes do quociente. No nosso caso, a função u(x) = 2x , onde:
v(x) = 1 + x^2

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Vamos calcular u'(x) = ddx(2x) = 2 e v'(x) = ddx(1 + x^2) = 2x :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
f'(x) = 2 cdot (1 + x^2) - 2x cdot 2x(1 + x^2)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
2(1 + x^2) - 4x^2 = 2 + 2x^2 - 4x^2 = 2 - 2x^2

Passo 7

Por fim, a derivada fica:
f'(x) = 2 - 2x^2(1 + x^2)^2

Resposta

A derivada da função f'(x) = 2 - 2x^2(1 + x^2)^2 é:

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