Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) calcule d zd t :
z=arctg(yx), x=ln (t), y=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dzdt usando a regra da cadeia. Estamos trabalhando com funções de várias variáveis, especificamente:
  • $ z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $
  • $ x = \ln(t) $
  • $ y = e^{t} $
Para resolver isso, vamos precisar entender a regra da cadeia em cálculo multivariável e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função que depende de outras funções, a derivada total pode ser encontrada somando as derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas dessas funções internas. No nosso caso:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y. Dado que $ z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $, podemos usar a derivada da função z = arctan(yx) , que é arctan(u), e aplicar a regra da cadeia.
Primeiro, definimos $ u = \frac{y}{x} $. Então:
11+u^2
u = yx

Passo 4

Agora, vamos calcular dxdt e dydt sabendo que:
  • $ x = \ln(t) $ então x = ln(t)
  • $ y = e^{t} $ então dxdt = 1t

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = (-yx^2 + y^2) cdot 1t + (xx^2 + y^2) cdot e^t

Passo 6

Agora, substituímos $ x = \ln(t) $ e $ y = e^{t} $ na expressão acima:
x = ln(t)

Resposta

Então, a derivada dzdt é:
dzdt = e^t cdot ln(t) - e^tt(ln(t))^2 + (e^t)^2

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