Usando a regra da cadeia para
calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular
usando a regra da cadeia. Estamos trabalhando com funções de várias variáveis, especificamente:
- $ z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $
- $ x = \ln(t) $
- $ y = e^{t} $
Para resolver isso, vamos precisar entender a regra da cadeia em cálculo multivariável e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função que depende de outras funções, a derivada total pode ser encontrada somando as derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas dessas funções internas. No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular
e
. Dado que $ z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $, podemos usar a derivada da função
, que é
, e aplicar a regra da cadeia.
Primeiro, definimos $ u = \frac{y}{x} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
sabendo que:
- $ x = \ln(t) $ então
- $ y = e^{t} $ então
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = \ln(t) $ e $ y = e^{t} $ na expressão acima:
Resposta
Então, a derivada
é: