Use a regra de LHôpital para determinar os limites:
lim x infty ln (2 x-2)ln (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a regra de L’Hôpital. O exercício pede para encontrar:
lim x infty ln (2x - 2)ln (x^2)
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções logarítmicas. Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos verificar se temos uma forma indeterminada do tipo , que é o caso quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que ln(x^2) = 2 ln(x) pode ser reescrito usando propriedades dos logaritmos:
lim x infty ln (2x - 2)2 ln(x)
Então, o limite fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a forma do limite.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Quando limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) tende ao infinito:
  • também tende ao infinito.
  • tende ao infinito.
Então, temos a forma , o que permite usar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de ddx ln(2x - 2) = 22x - 2 :
Usamos a regra da cadeia: ddx [2 ln(x)] = 2 cdot 1x = 2x .
Aqui, , então .
Portanto:
  • Derivada de :
A constante 2 fica multiplicando a derivada de , que é .
Então:

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
lim x infty 22x - 22x = lim x infty 2x2x - 2

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
2x2x - 2 = 2x2(x - 1) = xx - 1
Podemos dividir numerador e denominador por xx - 1 = 11 - 1x :

Passo 7

Enquanto 11 - 1x 11 - 0 = 1 tende ao infinito, tende a 0. Então:

Resposta

O limite é igual a 1.
lim x infty ln (2x - 2)ln (x^2) = 1

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