Use a regra de LHôpital para determinar os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a regra de L’Hôpital. O exercício pede para encontrar:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções logarítmicas. Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos verificar se temos uma forma indeterminada do tipo
, que é o caso quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que
pode ser reescrito usando propriedades dos logaritmos:
Então, o limite fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a forma do limite.
Passo 3
Agora, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Quando
tende ao infinito:
-
também tende ao infinito. -
tende ao infinito.
Então, temos a forma
, o que permite usar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia:
.
Aqui,
, então
.
Portanto:
- Derivada de
:
A constante 2 fica multiplicando a derivada de
, que é
.
Então:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 7
Enquanto
tende ao infinito,
tende a 0. Então:
Resposta
O limite é igual a 1.