Determine a diferencial das funções:
f(x)=x4+4x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a diferencial da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra de diferenciação para funções polinomiais e racionais. Vamos precisar saber como derivar termos com no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diferencial. A diferencial de uma função df = f'(x) , dx , representada por , é basicamente uma aproximação linear de como a função muda quando muda um pouquinho. Ela é calculada multiplicando a derivada da função por , que é uma pequena variação em .
Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função ddx(x4) = 14 . Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivamos ddx(4x^-1) = 4 cdot (-1) x^-2 = -4x^2 . Como é uma constante, a derivada de é 1, então:
Segundo, derivamos . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação. Usando a regra do poder, onde , temos:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada total f'(x) = 14 - 4x^2 :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a definição da diferencial:
df = f'(x) , dx = ( 14 - 4x^2 ) dx

Resposta

A diferencial da função é:
df = ( 14 - 4x^2 ) dx

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