Determine os pontos críticos das funções e classifique-os usando o critério da derivada segunda:
y=18+20 x-2 x^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Além disso, devemos classificá-los usando o critério da derivada segunda. Para isso, vamos precisar saber como encontrar derivadas e entender o que são pontos críticos e o critério da derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem representar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira da função y' = dydx = 20 - 4x . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo 20 - 4x = 0 4x = 20 x = 5 :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para classificar esse ponto crítico, usamos o critério da derivada segunda. Primeiro, calculamos a derivada segunda da função.
y'' = d^2ydx^2 = -4

Passo 6

Agora, analisamos o valor de y''(5) = -4 no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um máximo local em .

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um máximo local.

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