Seja
uma matriz
tal que
mas
. Mostre que
é l.i. em
.
Passo 1
Dados do enunciado:
é uma matriz
tal que
e
.
Define-se a família .
O que se pede: mostrar que é linearmente independente em
.
Define-se a família
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar: uma família de matrizes
é linearmente independente se, sempre que
(com
a matriz zero), então todos os escalares
são iguais a
. Aqui os escalares pertencem a
. No nosso caso as incógnitas serão coeficientes escalares associados a
.
Passo 3
Suponha, para provar a independência, que existe uma combinação linear que zera:
onde
. Queremos mostrar que todos os
são
.
Passo 4
Observação útil sobre potências de
: para quaisquer inteiros não negativos
vale
Também sabemos do enunciado que toda potência de
com expoente
é a matriz zero, pois
e, portanto,
para todo
.
Passo 5
Multiplicamos a equação inicial à esquerda por
. Usamos multiplicação à esquerda só por conveniência; com potências a ordem não atrapalha porque são potências da mesma matriz. Assim:
Pelo distributivo e pela propriedade de potências isso fica
Mas todas as potências
são nulas, logo sobra
Passo 6
Concluímos de
que
. Justificativa: se
então, como estamos em
,
é invertível e multiplicando pelos escalares apropriados obteríamos
, contradizendo a hipótese
. Alternativamente, olhando uma entrada não nula de
veríamos que o produto por
só seria zero se
.
Passo 7
Agora procedemos por indução nos coeficientes restantes. Suponha que já provamos
para algum
com
. Então a combinação inicial reduz a
Multiplicando essa equação à esquerda por
obtemos, como no passo anterior,
Novamente todos os termos com potência
anulam-se, sobrando
Pelo mesmo argumento do passo 6 segue
.
Passo 8
Pelo princípio da indução (base em
tratada no Passo 6, e o passo indutivo no Passo 7) obtemos
para todo
. Logo a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial.
Passo 9
Conclusão: os coeficientes da combinação linear devem ser todos zero, portanto a família
é linearmente independente em
.