Seja A uma matriz n \times n tal que A^{k}=0 mas A^{k-1} \neq 0. Mostre que \mathcal{B}=\left\{I, A, A^{2}, \cdots, A^{k-1}\right\} é l.i. em M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 1

Dados do enunciado:
\;A é uma matriz n\times n tal que \;A^{k}=0 e \;A^{k-1}\neq 0.
Define-se a família \displaystyle \mathcal{B}=\{I,\,A,\,A^{2},\ldots, A^{k-1}\}.
O que se pede: mostrar que \displaystyle \mathcal{B} é linearmente independente em M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar: uma família de matrizes \{M_1,\ldots,M_r\} é linearmente independente se, sempre que
\alpha_1 M_1+\alpha_2 M_2+\cdots+\alpha_r M_r=0
(com 0 a matriz zero), então todos os escalares \alpha_1,\ldots,\alpha_r são iguais a 0. Aqui os escalares pertencem a \mathbb{R}. No nosso caso as incógnitas serão coeficientes escalares associados a I,A,\dots,A^{k-1}.

Passo 3

Suponha, para provar a independência, que existe uma combinação linear que zera:
c_0 I + c_1 A + c_2 A^2 + \cdots + c_{k-1} A^{k-1} = 0,
onde c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}\in\mathbb{R}. Queremos mostrar que todos os c_i são 0.

Passo 4

Observação útil sobre potências de A: para quaisquer inteiros não negativos p,q vale
A^p A^q = A^{p+q}.
Também sabemos do enunciado que toda potência de A com expoente \ge k é a matriz zero, pois A^k=0 e, portanto, A^{k+m}=A^k A^m=0 para todo m\ge0.

Passo 5

Multiplicamos a equação inicial à esquerda por A^{k-1}. Usamos multiplicação à esquerda só por conveniência; com potências a ordem não atrapalha porque são potências da mesma matriz. Assim:
A^{k-1}\big(c_0 I + c_1 A + \cdots + c_{k-1} A^{k-1}\big)=0.
Pelo distributivo e pela propriedade de potências isso fica
c_0 A^{k-1} + c_1 A^{k} + c_2 A^{k+1} + \cdots + c_{k-1} A^{2k-2} = 0.
Mas todas as potências A^{k},A^{k+1},\ldots são nulas, logo sobra
c_0 A^{k-1} = 0.

Passo 6

Concluímos de c_0 A^{k-1}=0 que c_0=0. Justificativa: se c_0\neq 0 então, como estamos em \mathbb{R}, c_0 é invertível e multiplicando pelos escalares apropriados obteríamos A^{k-1}=0, contradizendo a hipótese A^{k-1}\neq 0. Alternativamente, olhando uma entrada não nula de A^{k-1} veríamos que o produto por c_0 só seria zero se c_0=0.

Passo 7

Agora procedemos por indução nos coeficientes restantes. Suponha que já provamos c_0=c_1=\cdots=c_{j-1}=0 para algum j com 1\le j\le k-1. Então a combinação inicial reduz a
c_j A^j + c_{j+1} A^{j+1} + \cdots + c_{k-1} A^{k-1} = 0.
Multiplicando essa equação à esquerda por A^{k-1-j} obtemos, como no passo anterior,
c_j A^{k-1} + c_{j+1} A^{k} + \cdots + c_{k-1} A^{2k-2-j} = 0.
Novamente todos os termos com potência \ge k anulam-se, sobrando
c_j A^{k-1}=0.
Pelo mesmo argumento do passo 6 segue c_j=0.

Passo 8

Pelo princípio da indução (base em j=0 tratada no Passo 6, e o passo indutivo no Passo 7) obtemos c_j=0 para todo j=0,1,\ldots,k-1. Logo a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial.

Passo 9

Conclusão: os coeficientes da combinação linear devem ser todos zero, portanto a família \displaystyle \mathcal{B}=\{I,A,\ldots,A^{k-1}\} é linearmente independente em M_n(\mathbb{R}).

Resposta

\displaystyle \mathcal{B}=\{I,A,A^{2},\ldots,A^{k-1}\} é linearmente independente em M_{n}(\mathbb{R}).

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