e pergunta se \beta é uma base de \mathcal{P}_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{os três polinômios acima (três elementos).}
A questão pede uma justificativa (sim ou não, com argumento).
Passo 2
O que significa ser base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se e somente se satisfaz duas condições simultâneas:
\text{(i) é linearmente independente} \qquad\text{e}\qquad \text{(ii) gera (ou seja, seu span é) todo o espaço.}
Vou usar essas definições explicitamente e também a relação com a dimensão: em um espaço vetorial de dimensão \,n\, toda base tem exatamente \,n\, vetores.
Passo 3
Calcular a dimensão de \mathcal{P}_{3}. Observe o conjunto canônico
\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\},
que são quatro polinômios linearmente independentes que geram \mathcal{P}_{3}. Logo
\dim(\mathcal{P}_{3})=4.
Portanto, qualquer base de \mathcal{P}_{3} deve ter exatamente \,4\, elementos.
Passo 4
Contagem de elementos em \beta: \beta tem \,3\, elementos. Como \dim(\mathcal{P}_{3})=4, qualquer conjunto com menos de \,4\, vetores não pode gerar todo \mathcal{P}_{3}. Assim, já temos um argumento imediato: por falta de elementos, \beta não pode ser base de \mathcal{P}_{3} (não pode satisfazer a condição (ii)).
Passo 5
(Aqui eu mostro também que os vetores de \beta\) são linearmente independentes, para completar a intuição: eles formam uma base de um subespaço de dimensão \(\,3\), mas não do espaço todo.)
Escrevemos a combinação linear nula genérica
\[a\,x^{3}+b\,(2x^{2}-x+3)+c\,(x^{3}-3x^{2}+4x-1)\equiv 0
para escalar a,b,c. Igualando coeficientes de potências de x obtemos o sistema
Da última equação vem c=3b\]. Substituindo em \(-b+4c=0 obtemos
-b+4(3b)=-b+12b=11b=0\implies b=0,
então c=3b=0. Finalmente a+c=0 dá a=0. Portanto a única solução é a=b=c=0, logo os três polinômios são linearmente independentes. Isso confirma que \beta gera um subespaço de dimensão \,3, mas não todo \mathcal{P}_{3}.]
Resposta
Não; \beta não é base de \mathcal{P}_{3}. Justificativa: \dim(\mathcal{P}_{3})=4 e |\beta|=3, logo \beta não tem vetores suficientes para gerar todo \mathcal{P}_{3} (embora os três polinômios sejam linearmente independentes).