O conjunto \beta=\left\{x^{3}, 2 x^{2}-x+3, x^{3}-3 x^{2}+4 x-1\right\} é uma base de \mathcal{P}_{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\beta=\{\,x^{3},\;2x^{2}-x+3,\;x^{3}-3x^{2}+4x-1\,\}
e pergunta se \beta é uma base de \mathcal{P}_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{os três polinômios acima (três elementos).}êôê
A questão pede uma justificativa (sim ou não, com argumento).

Passo 2

O que significa ser base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se e somente se satisfaz duas condições simultâneas:
\text{(i) é linearmente independente} \qquad\text{e}\qquad \text{(ii) gera (ou seja, seu span é) todo o espaço.}ééç
Vou usar essas definições explicitamente e também a relação com a dimensão: em um espaço vetorial de dimensão \,n\, toda base tem exatamente \,n\, vetores.

Passo 3

Calcular a dimensão de \mathcal{P}_{3}. Observe o conjunto canônico
\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\},
que são quatro polinômios linearmente independentes que geram \mathcal{P}_{3}. Logo
\dim(\mathcal{P}_{3})=4.
Portanto, qualquer base de \mathcal{P}_{3} deve ter exatamente \,4\, elementos.

Passo 4

Contagem de elementos em \beta: \beta tem \,3\, elementos. Como \dim(\mathcal{P}_{3})=4, qualquer conjunto com menos de \,4\, vetores não pode gerar todo \mathcal{P}_{3}. Assim, já temos um argumento imediato: por falta de elementos, \beta não pode ser base de \mathcal{P}_{3} (não pode satisfazer a condição (ii)).

Passo 5

(Aqui eu mostro também que os vetores de \beta\) são linearmente independentes, para completar a intuição: eles formam uma base de um subespaço de dimensão \(\,3\), mas não do espaço todo.) Escrevemos a combinação linear nula genérica \[a\,x^{3}+b\,(2x^{2}-x+3)+c\,(x^{3}-3x^{2}+4x-1)\equiv 0
para escalar a,b,c. Igualando coeficientes de potências de x obtemos o sistema
\begin{cases} x^{3}:\;a+c=0,\\[4pt] x^{2}:\;2b-3c=0,\\[4pt] x^{1}:\;-b+4c=0,\\[4pt] x^{0}:\;3b-c=0. \end{cases}
Da última equação vem c=3b\]. Substituindo em \(-b+4c=0 obtemos
-b+4(3b)=-b+12b=11b=0\implies b=0,
então c=3b=0. Finalmente a+c=0 a=0. Portanto a única solução é a=b=c=0, logo os três polinômios são linearmente independentes. Isso confirma que \beta gera um subespaço de dimensão \,3, mas não todo \mathcal{P}_{3}.]

Resposta

Não; \beta não é base de \mathcal{P}_{3}. Justificativa: \dim(\mathcal{P}_{3})=4 e |\beta|=3, logo \beta não tem vetores suficientes para gerar todo \mathcal{P}_{3} (embora os três polinômios sejam linearmente independentes).

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