Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
(lla & b c & d) ; a+d=b+c.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
W = l,a & b c & din M2(R) ;m|; a+d = b+cr
O conteúdo é subespaço definido por uma única equação linear em quatro incógnitas ,a,b,c,d. Para resolver, vamos expressar uma dessas variáveis em função das outras e extrair vetores-base.

Passo 2

Seja
M = a & b c & din W
A condição a+d = b+c implica
d = b + c - a
Podemos escolher ,a,b,c como variáveis livres e escrever d em função delas.

Passo 3

Com a,b,c livres e d = b+c-a, temos
M = a & b c & b+c-a = a1&00&-1 + b0&10&1 + c0&01&1
Isso mostra que todo Min W é combinação linear desses três matrizes fixas.

Passo 4

As matrizes
E1 = 1&00&-1, E2 = 0&10&1, E3 = 0&01&1
são claramente independentes e geram W.

Resposta

Dimensão de W: dim W = 3.
Uma base de W é
1&00&-1,; 0&10&1,; 0&01&1

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