Resumo das perguntas: (1) qual é a dimensão do espaço solução \{X\in\mathbb{R}^4:AX=0\}? (2) dê uma base desse espaço (ou seja, vetores que geram todas as soluções).
Passo 2
Plano e conceitos relevantes (explicação didática e curta):
Resolver um sistema homogêneo A X=0 equivale a encontrar o núcleo (nullspace) de A.
Operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) preservam o conjunto de soluções do sistema. Por isso aplicamos eliminação de Gauss para obter uma forma escalonada.
O posto (rank) de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, que coincide com o número de pivôs (linhas não nulas) após eliminação.
Teorema da dimensão (teorema da nulidade): para uma matriz A de ordem m\times n,
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A).
Aqui n=4 (quatro incógnitas). Assim, ao encontrar o posto de A determinamos a dimensão do espaço solução; em seguida expressamos as variáveis livres e obtemos uma base do núcleo.
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss (passo a passo das operações):
Começo com a matriz aumentada do sistema (apenas A, pois o lado direito é zero):
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida (cada pivô com zeros acima e abaixo). Observa-se que há pivôs nas colunas 1,2,3 e a coluna 4 não tem pivô.
Passo 4
Interpretando a forma escalonada para obter as equações e a solução geral:
As linhas não nulas correspondem às equações (cada linha multiplicada por X igual a zero). Das três primeiras linhas não nulas obtemos:
X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Passo 5
Conclusões sobre dimensão e base (explicação):
O posto de A é o número de pivôs encontrados; aqui são três pivôs (colunas 1, 2 e 3). Logo \operatorname{rank}(A)=3.
Pelo teorema da nulidade, \dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-3=1. Assim o espaço solução é de dimensão 1.
Uma base para esse espaço é dada por um vetor gerador do núcleo; a solução geral mostra que todas as soluções são múltiplos de \begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix}. Portanto uma base é \left\{\begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Verificação rápida (opcional, para confiança): multiplicando A pelo vetor \begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix} obtém-se o vetor zero (pode ser checado termo a termo), confirmando que esse vetor pertence ao núcleo.