Determine a dimensão e uma base para os subespaços a seguir:
(a)
\begin{gathered}
\left\{\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]: b=a+c, d=c\right\} \\
\left\{\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]: b=a+c\right\} \\
\left\{\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]: c=a-3 b, d=0\right\} \\
\left\{\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]: a+d=b+c\right\}
\end{gathered}
Passo 1
O enunciado pede, para cada um dos quatro subconjuntos de matrizes 2\times2, determinar a dimensão e encontrar uma base. Vou listar claramente as quatro famílias dadas (cada matriz é da forma \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}):
\displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: b=a+c,\\ d=c\,\}.
\displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: b=a+c\,\}.
\displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: c=a-3b,\\ d=0\,\}.
\displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: a+d=b+c\,\}.
O objetivo para cada item é: (i) escrever a forma geral da matriz sujeita às restrições; (ii) expressá-la como combinação linear de matrizes independentes; (iii) deduzir a dimensão (número de parâmetros livres) e apresentar uma base (essas matrizes independentes).
Passo 2
Método geral (explicação e lema usado). Uma subcoleção de M_{2\times2} dada por condições lineares entre a,b,c,d é um subespaço vetorial. Para achar dimensão e base:
Resolver as equações lineares que ligam a,b,c,d para expressá-los em termos de parâmetros livres (por exemplo t_1,t_2,\dots).
Escrever a matriz geral como combinação linear \sum t_i M_i, onde cada M_i é uma matriz com entradas 0 ou 1 ou coeficientes fixos.
A quantidade de parâmetros livres é a dimensão do subespaço; os M_i formam um conjunto gerador. Se são linearmente independentes, são uma base.
Lembrete rápido sobre independência: matrizes M_1,\dots,M_k são linearmente independentes se a única forma de \alpha_1 M_1+\cdots+\alpha_k M_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Para verificar, basta igualar entradas correspondentes.
Agora aplico isso item a item, mostrando cada etapa explicitamente.
Passo 3
Item (a): condição [b=a+c,\ d=c).
Escrevo a matriz geral impondo as condições:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix}.
Aqui escolhi a e c como parâmetros livres (qualquer matriz do conjunto é obtida por esses dois). Portanto há dois parâmetros livres.
Verificação de independência: suponha \alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=0. Igualando entradas obtemos o sistema
Da primeira e segunda equações vem (\alpha=0,\beta=0]. Independentes.
Conclusão do (c): dimensão 2; base dada pelas duas matrizes acima.]
Passo 6
Item (d): condição [a+d=b+c). Esta é uma equação linear entre as quatro entradas, portanto reduz o número de graus de liberdade em 1: começamos com 4 (espaço M_{2\times2}) e com uma equação linear independente esperamos dimensão 3. Vou parametrizar explicitamente.
Resolva para d:
d = b+c-a.
Logo a matriz geral do subespaço é
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & b+c-a\end{pmatrix}.
Escolho parâmetros livres a,b,c. Agora escrevo como combinação linear desses parâmetros: