1. Determine a dimensão e uma base para os subespaços a seguir:
    (a)
\begin{gathered} \left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]: b=a+c, d=c\right\} \\ \left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]: b=a+c\right\} \\ \left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]: c=a-3 b, d=0\right\} \\ \left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]: a+d=b+c\right\} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos quatro subconjuntos de matrizes 2\times2, determinar a dimensão e encontrar uma base. Vou listar claramente as quatro famílias dadas (cada matriz é da forma \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}):
  1. \displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: b=a+c,\\ d=c\,\}.
  2. \displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: b=a+c\,\}.
  3. \displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: c=a-3b,\\ d=0\,\}.
  4. \displaystyle \{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}: a+d=b+c\,\}.
O objetivo para cada item é: (i) escrever a forma geral da matriz sujeita às restrições; (ii) expressá-la como combinação linear de matrizes independentes; (iii) deduzir a dimensão (número de parâmetros livres) e apresentar uma base (essas matrizes independentes).

Passo 2

Método geral (explicação e lema usado). Uma subcoleção de M_{2\times2} dada por condições lineares entre a,b,c,d é um subespaço vetorial. Para achar dimensão e base:
  • Resolver as equações lineares que ligam a,b,c,d para expressá-los em termos de parâmetros livres (por exemplo t_1,t_2,\dots).
  • Escrever a matriz geral como combinação linear \sum t_i M_i, onde cada M_i é uma matriz com entradas 0 ou 1 ou coeficientes fixos.
  • A quantidade de parâmetros livres é a dimensão do subespaço; os M_i formam um conjunto gerador. Se são linearmente independentes, são uma base.
    Lembrete rápido sobre independência: matrizes M_1,\dots,M_k são linearmente independentes se a única forma de \alpha_1 M_1+\cdots+\alpha_k M_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Para verificar, basta igualar entradas correspondentes.
Agora aplico isso item a item, mostrando cada etapa explicitamente.

Passo 3

Item (a): condição [b=a+c,\ d=c).
Escrevo a matriz geral impondo as condições:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix}.
Separe em termos dos parâmetros livres a e c:
\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Aqui escolhi a e c como parâmetros livres (qualquer matriz do conjunto é obtida por esses dois). Portanto há dois parâmetros livres.
Verificação de independência: suponha \alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=0. Igualando entradas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0 & (\text{entrada }(1,1))\\[2pt] \alpha+\beta = 0 & (\text{entrada }(1,2))\\[2pt] \beta = 0 & (\text{entrada }(2,1))\\[2pt] \beta = 0 & (\text{entrada }(2,2)). \end{cases}
Da primeira e terceira equações segue (\alpha=0,\ \beta=0]. Logo são linearmente independentes.
Conclusão do (a): dimensão 2; uma base é formada pelas duas matrizes acima.]

Passo 4

Item (b): condição [b=a+c) (apenas esta).
Escrevo a matriz geral impondo a condição:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Agora há três parâmetros livres: a,c,d (pois b é determinado por a e c). Reescrevo como combinação linear:
\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação de independência: suponha \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=0.
Igualando entradas:
\begin{cases} \alpha = 0 & (1,1)\\[2pt] \alpha+\beta = 0 & (1,2)\\[2pt] \beta = 0 & (2,1)\\[2pt] \gamma = 0 & (2,2). \end{cases}
Daí (\alpha=0,\beta=0,\gamma=0]. Logo são independentes e formam uma base.
Conclusão do (b): dimensão 3; base dada pelas três matrizes acima.]

Passo 5

Item (c): condições [c=a-3b,\ d=0).
Impondo essas condições:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] a-3b & 0\end{pmatrix}.
Escolho parâmetros livres a e b. Escrevo como combinação:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] a-3b & 0\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}.
Há dois parâmetros livres, logo dimensão 2.
Verificação de independência: suponha \alpha,\beta tais que
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ -3&0\end{pmatrix}=0.
Igualando entradas:
\begin{cases} \alpha = 0 & (1,1)\\[2pt] \beta = 0 & (1,2)\\[2pt] \alpha-3\beta = 0 & (2,1)\\[2pt] 0 = 0 & (2,2) \\ (\text{trivial}). \end{cases}
Da primeira e segunda equações vem (\alpha=0,\beta=0]. Independentes.
Conclusão do (c): dimensão 2; base dada pelas duas matrizes acima.]

Passo 6

Item (d): condição [a+d=b+c). Esta é uma equação linear entre as quatro entradas, portanto reduz o número de graus de liberdade em 1: começamos com 4 (espaço M_{2\times2}) e com uma equação linear independente esperamos dimensão 3. Vou parametrizar explicitamente.
Resolva para d:
d = b+c-a.
Logo a matriz geral do subespaço é
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & b+c-a\end{pmatrix}.
Escolho parâmetros livres a,b,c. Agora escrevo como combinação linear desses parâmetros:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & b+c-a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Verificação de independência: suponha \alpha,\beta,\gamma com
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=0.
Igualando entradas:
\begin{cases} \alpha = 0 & (1,1)\\[2pt] \beta = 0 & (1,2)\\[2pt] \gamma = 0 & (2,1)\\[2pt] -\alpha+\beta+\gamma = 0 & (2,2). \end{cases}
Das três primeiras equações temos (\alpha=0,\beta=0,\gamma=0]; logo são independentes.
Conclusão do (d): dimensão 3; as três matrizes acima formam uma base.]

Resposta

(a) \dim=2. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\right\}
(b) \dim=3. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}
(c) \dim=2. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}\right\}
(d) \dim=3. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\right\}\]

Exercícios relacionados