Mostre que u \cdot v=a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+d_{1} d_{2} define um produto interno no espaço de matrizes 2 \times 2. Determine x de modo que
u=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\\\ 5 & x \end{array}\right] \text { e } v=\left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right]
sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que a aplicação
u\cdot v = a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}
define um produto interno no espaço das matrizes 2\times2. Aqui entende-se que, para
u=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\[4pt] c_{1}&d_{1}\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\[4pt] c_{2}&d_{2}\end{pmatrix},
o produto u\cdot v é a soma dos produtos correspondentes das entradas, conforme a fórmula dada.
  • Determinar o valor de x tal que as matrizes
u=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 5 & x\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
sejam ortogonais (ou seja, tenham produto interno zero).
As informações dadas são: a definição do produto interno por soma dos produtos das entradas e os dois exemplos concretos de u e v (com uma incógnita x em u). A tarefa é primeiro justificar que a fórmula é de fato um produto interno e depois usar essa fórmula para achar x que torna u e v ortogonais.]

Passo 2

Lembrando o que é preciso mostrar para que uma forma bilinear seja um produto interno em um espaço real: devemos verificar três propriedades (para todo u,v,w e todo \lambda\in\mathbb{R}):
  1. Simetria: u\cdot v = v\cdot u.
  2. Linearidade em cada argumento (ou bilinearidade): (u+w)\cdot v = u\cdot v + w\cdot v e (\lambda u)\cdot v = \lambda (u\cdot v).
  3. Definitude positiva: u\cdot u \ge 0 e u\cdot u = 0 se e somente se u for a matriz zero.
Vou verificar cada uma usando a definição u\cdot v = a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.

Passo 3

Propriedade 1 — simetria.
Pelo produto de reais ser comutativo, cada termo \,a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}, etc. Assim
u\cdot v = a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2} = a_{2}a_{1}+b_{2}b_{1}+c_{2}c_{1}+d_{2}d_{1} = v\cdot u.
Logo a simetria vale.

Passo 4

Propriedade 2 — linearidade (bilinearidade).
Mostro as duas identidades básicas.
(i) Aditividade em primeiro argumento: seja w=\begin{pmatrix}a_{3}&b_{3}\\[4pt] c_{3}&d_{3}\end{pmatrix}. Então
(u+w)\cdot v = (a_{1}+a_{3})a_{2}+(b_{1}+b_{3})b_{2}+(c_{1}+c_{3})c_{2}+(d_{1}+d_{3})d_{2}.
Distribuindo,
(u+w)\cdot v = (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}) +(a_{3}a_{2}+b_{3}b_{2}+c_{3}c_{2}+d_{3}d_{2}) = u\cdot v + w\cdot v.
(ii) Homogeneidade em primeiro argumento: para \lambda\in\mathbb{R},
(\lambda u)\cdot v = (\lambda a_{1})a_{2}+(\lambda b_{1})b_{2}+(\lambda c_{1})c_{2}+(\lambda d_{1})d_{2} = \lambda (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}) = \lambda (u\cdot v).
Como o espaço é sobre \mathbb{R} e a forma é simétrica, a linearidade em um argumento implica a linearidade no outro por simetria. Portanto a forma é bilinear.]

Passo 5

Propriedade 3 — definitude positiva.
Calcule u\cdot u:
u\cdot u = a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2}.
Cada termo é um quadrado real, então \,a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2}\ge 0. Além disso, a soma de quadrados é zero se e somente se cada quadrado é zero, ou seja, a_{1}=b_{1}=c_{1}=d_{1}=0. Isso significa exatamente que u é a matriz nula. Portanto u\cdot u>0 para todo u\neq 0 e u\cdot u=0 só para u=0. Assim a forma é definida positiva.

Passo 6

Conclusão sobre produto interno.
Como as três propriedades (simetria, bilinearidade e positividade definida) estão verificadas, a aplicação
u\cdot v = a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}
de fato define um produto interno no espaço das matrizes reais 2\times2.

Passo 7

Definição de ortogonalidade e aplicação ao caso concreto.
Duas matrizes u e v são ortogonais quando seu produto interno é zero:
u\cdot v = 0.
Agora aplico isso às matrizes dadas. Peguei as entradas das matrizes do enunciado: para
u=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 5 & x\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
as entradas correspondentes são a_{1}=1, b_{1}=-2, c_{1}=5, d_{1}=x e a_{2}=3, b_{2}=2, c_{2}=1, d_{2}=-1. Vou usar a fórmula do produto interno:]

Passo 8

Cálculo do produto interno e resolução para x.
Compute:
u\cdot v = 1\cdot 3 + (-2)\cdot 2 + 5\cdot 1 + x\cdot(-1).
Simplificando termo a termo:
u\cdot v = 3 - 4 + 5 - x = (3-4+5) - x = 4 - x.
Para serem ortogonais precisamos de u\cdot v = 0. Logo
4 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4.

Resposta

x=4

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