Informação relevante: H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}. A dimensão de H é o número máximo de vetores linearmente independentes dentre esses (ou seja, o posto da matriz que tem esses vetores como colunas).]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): o span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. A dimensão do span é o número de vetores de uma base desse span, isto é, o número de vetores linearmente independentes entre os dados. Uma forma prática de encontrar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss: o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) após a redução é a dimensão procurada.
Passo 3
Vamos montar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A ideia é aplicar operações elementares sobre as linhas para encontrar o número de linhas linearmente independentes (pivôs).]
Passo 4
Primeira etapa da eliminação: usar a primeira linha como pivô e zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna. Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 3 e 4:
Interpretação dos resultados da eliminação: restaram exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras), portanto há dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2). Isso significa que o posto da matriz A é 2. Logo, dentre os quatro vetores apenas dois são linearmente independentes e geram todo H.
Para reforçar a intuição, dá para encontrar explicitamente as relações de dependência: resolvendo a v_1 + b v_2 = v_3 obtemos a=1, b=-2, então
v_3 = 1\cdot v_1 - 2\cdot v_2.
Também resolvendo c v_1 + d v_2 = v_4 obtemos c=1, d=1, então
v_4 = 1\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
Isso confirma que v_3 e v_4 são combinações lineares de v_1 e v_2, restando apenas dois vetores independentes.