Q5: Determine a dimensão de
H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço H gerado pelos quatro vetores fornecidos.
Os vetores dados (vou repetir exatamente o que o enunciado traz) são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Informação relevante: H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}. A dimensão de H é o número máximo de vetores linearmente independentes dentre esses (ou seja, o posto da matriz que tem esses vetores como colunas).]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): o span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. A dimensão do span é o número de vetores de uma base desse span, isto é, o número de vetores linearmente independentes entre os dados. Uma forma prática de encontrar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss: o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) após a redução é a dimensão procurada.

Passo 3

Vamos montar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[2pt] 1 & 2 & -3 & 3\\[2pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[2pt] 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
A ideia é aplicar operações elementares sobre as linhas para encontrar o número de linhas linearmente independentes (pivôs).]

Passo 4

Primeira etapa da eliminação: usar a primeira linha como pivô e zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna. Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 3 e 4:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-R_1: & (1,2,-3,3)-(1,1,-1,2) &= (0,1,-2,1),\\[2pt] R_3 &\leftarrow R_3-R_1: & (1,0,1,1)-(1,1,-1,2) &= (0,-1,2,-1),\\[2pt] R_4 &\leftarrow R_4-R_1: & (1,1,-1,2)-(1,1,-1,2) &= (0,0,0,0). \end{aligned}
Depois dessas operações a matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[2pt] 0 & 1 & -2 & 1\\[2pt] 0 & -1 & 2 & -1\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha como pivô para zerar o elemento embaixo dela na segunda coluna. Somamos a linha 2 à linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2: \quad (0,-1,2,-1)+(0,1,-2,1)=(0,0,0,0).
A matriz reduzida (até agora) é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[2pt] 0 & 1 & -2 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação dos resultados da eliminação: restaram exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras), portanto há dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2). Isso significa que o posto da matriz A é 2. Logo, dentre os quatro vetores apenas dois são linearmente independentes e geram todo H.
Para reforçar a intuição, dá para encontrar explicitamente as relações de dependência: resolvendo a v_1 + b v_2 = v_3 obtemos a=1, b=-2, então
v_3 = 1\cdot v_1 - 2\cdot v_2.
Também resolvendo c v_1 + d v_2 = v_4 obtemos c=1, d=1, então
v_4 = 1\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
Isso confirma que v_3 e v_4 são combinações lineares de v_1 e v_2, restando apenas dois vetores independentes.

Resposta

2

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