Considere as afirmativas abaixo:
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre sistemas lineares e pede que se identifique quais são verdadeiras:
- I - “Um sistema linear não-homogêneo em
variáveis com equações tem solução única.” - II - “Um sistema linear homogêneo em
variáveis com equações pode ter solução única.”
Informações relevantes dadas:
- Números de variáveis e equações em cada item: para I são
variáveis e equações; para II são variáveis e equações. - Um sistema é dito homogêneo quando o vetor termo independente é o vetor nulo (todas as constantes do lado direito são zero); não-homogêneo quando esse vetor é, em geral, diferente de zero.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados com calma):
- Seja um sistema linear
, onde é a matriz dos coeficientes com dimensão ( equações, variáveis), o vetor incógnita e o vetor de termos independentes. - Definição de posto (rank):
é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de . Sempre vale . - Condições de existência e unicidade:
- O sistema
é consistente (tem solução) se e somente se , onde é a matriz aumentada. - Se o sistema é consistente, o número de graus de liberdade (parâmetros) das soluções é
. Em particular: - Há solução única se e somente se o sistema é consistente e
. - Para sistemas homogêneos (
), a consistência é automática; a única solução (solução trivial ) ocorre exatamente quando . Caso contrário há infinitas soluções.
- Há solução única se e somente se o sistema é consistente e
- O sistema
- Observação prática: quando
(matriz quadrada), ter solução única para todo equivale a (ou ), mas nem toda matriz quadrada tem .
Passo 3
Análise da afirmativa I:
- A afirmativa diz que “um sistema não-homogêneo com
variáveis e equações tem solução única” — isso é uma afirmação categórica (ou seja: sempre tem). - Usando a teoria do passo anterior, para garantia de solução única seria preciso que sempre valha
e que o sistema seja consistente. Mas nem toda matriz tem posto ; é perfeitamente possível ter . - Vou mostrar dois exemplos concretos que mostram que a afirmação não é sempre verdadeira:
- Exemplo que leva a infinitas soluções (sistema consistente porém
): considere as equações Aqui há equações em variáveis . As duas últimas equações são idênticas, então o posto efetivo . As equações determinam , mas fica livre: há infinitas soluções (parâmetro ). Logo nem sempre há solução única. - Exemplo que leva à inconsistência (nenhuma solução): considere as equações
As equações e são conflitantes, então e o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
- Exemplo que leva a infinitas soluções (sistema consistente porém
- Conclusão do item I: como existem exemplos (consistentes ou inconsistentes) que quebram a afirmação, a afirmativa I é falsa. Não se pode afirmar que todo sistema
não-homogêneo terá solução única.
Passo 4
Análise da afirmativa II:
- A afirmativa II diz que “um sistema homogêneo em
variáveis com equações pode ter solução única.” Aqui a palavra-chave é “pode” — não precisa ser sempre, apenas existir a possibilidade. - Para sistemas homogêneos
com variáveis, a solução única (apenas ) ocorre exatamente quando . - Qual é o maior posto possível de uma matriz
? Pelo fato , o máximo é . Ou seja, é perfeitamente possível ter . - Construção explícita de um exemplo com solução única: tome
cujas primeiras linhas formam a matriz identidade (e as 3 linhas restantes podem ser qualquer combinação linear dessas ou zeros). Então as equações implicam diretamente portanto a única solução é . Assim existe um sistema homogêneo com equações e incógnitas que tem solução única. - Conclusão do item II: a afirmativa II é verdadeira (a situação é possível).
Passo 5
Comparação final e escolha da alternativa:
- I é falsa (mostramos contraexemplos).
- II é verdadeira (mostramos que é possível e demos um exemplo construtivo).
- Portanto a opção correta é a que diz que apenas II é verdadeira.
Resposta
(A)