Considere as afirmativas abaixo:
I - Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.
II - Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre sistemas lineares e pede que se identifique quais são verdadeiras:
  • I - “Um sistema linear não-homogêneo em 11 variáveis com 11 equações tem solução única.”
  • II - “Um sistema linear homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.”
Informações relevantes dadas:
  • Números de variáveis e equações em cada item: para I são 11 variáveis e 11 equações; para II são 12 variáveis e 15 equações.
  • Um sistema é dito homogêneo quando o vetor termo independente é o vetor nulo (todas as constantes do lado direito são zero); não-homogêneo quando esse vetor é, em geral, diferente de zero.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados com calma):
  • Seja um sistema linear A x = b, onde A é a matriz dos coeficientes com dimensão m\times n ( m equações, n variáveis), x\in\mathbb{R}^n o vetor incógnita e b\in\mathbb{R}^m o vetor de termos independentes.
  • Definição de posto (rank): \text{rank}(A) é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A. Sempre vale \text{rank}(A)\le \min\{m,n\}.
  • Condições de existência e unicidade:
    • O sistema A x = b é consistente (tem solução) se e somente se \text{rank}(A)=\text{rank}([A\mid b]), onde [A\mid b] é a matriz aumentada.
    • Se o sistema é consistente, o número de graus de liberdade (parâmetros) das soluções é n-\text{rank}(A). Em particular:
      • Há solução única se e somente se o sistema é consistente e \text{rank}(A)=n.
      • Para sistemas homogêneos ( b=0), a consistência é automática; a única solução (solução trivial x=0) ocorre exatamente quando \text{rank}(A)=n. Caso contrário há infinitas soluções.
  • Observação prática: quando m=n (matriz quadrada), ter solução única para todo b equivale a \det(A)\neq 0 (ou \text{rank}(A)=n), mas nem toda matriz quadrada tem \det\neq0.

Passo 3

Análise da afirmativa I:
  • A afirmativa diz que “um sistema não-homogêneo com 11 variáveis e 11 equações tem solução única” — isso é uma afirmação categórica (ou seja: sempre tem).
  • Usando a teoria do passo anterior, para garantia de solução única seria preciso que sempre valha \text{rank}(A)=11 e que o sistema seja consistente. Mas nem toda matriz 11\times11 tem posto 11; é perfeitamente possível ter \text{rank}(A)<11.
  • Vou mostrar dois exemplos concretos que mostram que a afirmação não é sempre verdadeira:
    • Exemplo que leva a infinitas soluções (sistema consistente porém \text{rank}(A)<11): considere as equações \begin{aligned} x_1&=0,\\\ x_2&=0,\\\ &\\ \vdots\\\ x_{10}&=0,\\\ x_{10}&=0, \end{aligned}Aqui há 11 equações em 11 variáveis x_1,\dots,x_{11}. As duas últimas equações são idênticas, então o posto efetivo \text{rank}(A)\le 10. As equações determinam x_1,\dots,x_{10}, mas x_{11} fica livre: há infinitas soluções (parâmetro x_{11}). Logo nem sempre há solução única.
    • Exemplo que leva à inconsistência (nenhuma solução): considere as equações \begin{aligned} x_1&=0,\\\ &\\ \vdots\\\ x_{10}&=0,\\\ x_1&=1. \end{aligned}As equações x_1=0 e x_1=1 são conflitantes, então \text{rank}([A\mid b])>\text{rank}(A) e o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
  • Conclusão do item I: como existem exemplos (consistentes ou inconsistentes) que quebram a afirmação, a afirmativa I é falsa. Não se pode afirmar que todo sistema 11\times11 não-homogêneo terá solução única.

Passo 4

Análise da afirmativa II:
  • A afirmativa II diz que “um sistema homogêneo em 12 variáveis com 15 equações pode ter solução única.” Aqui a palavra-chave é “pode” — não precisa ser sempre, apenas existir a possibilidade.
  • Para sistemas homogêneos A x = 0 com n=12 variáveis, a solução única (apenas x=0) ocorre exatamente quando \text{rank}(A)=12.
  • Qual é o maior posto possível de uma matriz 15\times 12? Pelo fato \text{rank}(A)\le\min\{15,12\}, o máximo é 12. Ou seja, é perfeitamente possível ter \text{rank}(A)=12.
  • Construção explícita de um exemplo com solução única: tome A cujas primeiras 12 linhas formam a matriz identidade I_{12} (e as 3 linhas restantes podem ser qualquer combinação linear dessas ou zeros). Então as equações implicam diretamente x_1=0,\\ x_2=0,\\ \dots,\\ x_{12}=0,portanto a única solução é x=0. Assim existe um sistema homogêneo com 15 equações e 12 incógnitas que tem solução única.
  • Conclusão do item II: a afirmativa II é verdadeira (a situação é possível).

Passo 5

Comparação final e escolha da alternativa:
  • I é falsa (mostramos contraexemplos).
  • II é verdadeira (mostramos que é possível e demos um exemplo construtivo).
  • Portanto a opção correta é a que diz que apenas II é verdadeira.

Resposta

(A)

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