Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e, nesses casos, determine seus conjuntos soluções (indicando em que conjunto as soluções se encontram). Quando possível, escreva a forma escalonada principal associada ao sistema. Quais deles serão determinados? Em quais deles é possível se escrever uma equação como combinação linear das outras equações? \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} x+\sqrt{3} y=0 \\\\ 2 x-2 y=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações lineares em x e y:
Decidir se o sistema é compatível (tem solução) e, se sim, encontrar o conjunto solução e indicar em que conjunto as soluções se encontram.
Quando possível, escrever a forma escalonada principal (forma escalonada reduzida ou escalonada com pivôs normalizados) associada ao sistema.
Dizer se o sistema é determinado (tem solução única).
Dizer se alguma equação pode ser escrita como combinação linear das outras.]
Passo 2
Breve lembrete da técnica que vou usar (passo-a-passo): para sistemas 2\times2 é prático usar substituição ou eliminação. Aqui a primeira equação tem o termo independente 0, então é muito conveniente isolar x em função de y a partir da primeira equação e substituir na segunda. Também vou mostrar a via matricial (forma escalonada) usando operações elementares por linhas.
Passo 3
Isolar x a partir da primeira equação:
\sqrt{2}\,x+\sqrt{3}\,y=0
subtraindo \sqrt{3}\,y e dividindo por \sqrt{2} (atenção: \sqrt2\neq0, então a divisão é válida),
\sqrt{2}\,x = -\sqrt{3}\,y \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\,y.
Observação didática: dividir por um coeficiente não nulo é uma operação permitida; a expressão -\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} também pode ser vista como -\sqrt{\dfrac{3}{2}}.
Dividindo ambos os lados por -2\big(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + 1\big) (novamente válido porque o denominador é não nulo),
y = \frac{2}{-2\big(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\big)} = -\frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1}.
Passo 5
Simplificar a expressão de y para uma forma com radicais mais clássica. Escrevendo \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} e colocando em denominador comum:
y = -\frac{1}{1+\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}} = -\frac{1}{\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2}} = -\frac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt2-\sqrt3):
y = -\frac{\sqrt2(\sqrt2-\sqrt3)}{(\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt3)} = -\frac{\sqrt2(\sqrt2-\sqrt3)}{2-3} = \sqrt2(\sqrt2-\sqrt3).
Desenvolvendo \sqrt2(\sqrt2-\sqrt3):
y = \sqrt2\cdot\sqrt2 - \sqrt2\cdot\sqrt3 = 2 - \sqrt6.
Então obtemos
\boxed{\,y = 2 - \sqrt6\,}.
Passo 6
Agora achar x usando x = -\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\,y:
x = -\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\,(2-\sqrt6).
Distribuindo e simplificando termo a termo:
x = -2\frac{\sqrt3}{\sqrt2} + \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\sqrt6.
Note que \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\sqrt6 = \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt2} = \dfrac{3\sqrt2}{\sqrt2}=3. E -2\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} = -\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt2} = -\sqrt6. Portanto
x = -\sqrt6 + 3 = 3 - \sqrt6.
Logo
\boxed{\,x = 3 - \sqrt6\,}.
Passo 7
Concluir sobre compatibilidade e determinidade: encontramos um único par (x,y) que satisfaz ambas as equações, logo o sistema é compatível e determinado (tem solução única). O conjunto solução é
\{(3-\sqrt6,\;2-\sqrt6)\},
que é um subconjunto de \mathbb{R}^2 (portanto as soluções estão em \mathbb{R}^2).
Passo 8
Mostrar a forma escalonada (matricial) e as operações elementares (forma escalonada principal / reduzida):
Matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
portanto a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (compatível determinado). Isso confirma o que encontramos.]
Passo 10
Sobre combinar equações: para que uma equação seja múltiplo escalar da outra, os vetores de coeficientes e os termos independentes teriam de ser proporcionais. A primeira equação tem termo independente 0; qualquer múltiplo escalar dela também teria termo independente 0, mas a segunda equação tem termo independente 2\neq0. Logo não existe escala que transforme a primeira na segunda; em outras palavras, nenhuma das equações é combinação linear das outras. Assim, as duas equações são linearmente independentes.
Resposta
Compatível determinado. Conjunto solução: \{(3-\sqrt6,\;2-\sqrt6)\}\subset\mathbb{R}^2.
Forma escalonada principal reduzida: