Determine a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=102, v2=311, v3=94-2, v4=-7-32
O conteúdo necessário é o conceito de posto de matriz (rank) e de independência linear: a dimensão do subespaço gerado por vetores em R^n é igual ao posto da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A de orden 3times4 cujas colunas são os vetores dados:
A = 1 & 3 & 9 & -7 0 & 1 & 4 & -3 2 & 1 & -2 & 2
A dimensão do subespaço gerado é rank(A).

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A para encontrar o número de pivôs.
Primeiro, zeramos a entrada (3,1) com R3 R3-2cdot R1:
1 & 3 & 9 & -7 0 & 1 & 4 & -3 0 & -5 & -20 & 16
Em seguida, zeramos a entrada (3,2) com R3 R3+5cdot R2:
1 & 3 & 9 & -7 0 & 1 & 4 & -3 0 & 0 & 0 & 1
Nesta forma escalonada, há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, totalizando 3 pivôs.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado é 3.

Exercícios relacionados