Mostre que o espaço
formado por todas as funções reais é um espaço de dimensão infinita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
de todas as funções reais contínuas (ou simplesmente todas as funções reais) sobre
é de dimensão infinita. Em teoria de espaços vetoriais, isso significa que não existe uma base finita: para qualquer inteiro
, podemos achar pelo menos
funções linearmente independentes. Vamos usar como exemplo os polinômios
.
Passo 2
Fixe um inteiro
e considere o conjunto
Mostremos que essas
funções são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Mas isso é exatamente uma identidade polinomial de grau
que se anula em infinitos pontos. Do teorema fundamental da álgebra, um polinômio não nulo de grau
só pode ter no máximo
raízes. Como aqui ele é zero para todo
, a única possibilidade é que
Logo, não há combinação linear não trivial que anule essas funções, provando a independência.
Passo 3
Vimos que, para cada
, existe um conjunto de
funções em
que são linearmente independentes. Se o espaço fosse de dimensão finita, teria uma base com
, e não conseguiria conter conjuntos arbitrariamente grandes de vetores independentes. Concluímos então que
NÃO admite base finita, ou seja, sua dimensão é infinita.
Resposta
O espaço
é de dimensão infinita.