Mostre que o espaço C(R) formado por todas as funções reais é um espaço de dimensão infinita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial C(R) de todas as funções reais contínuas (ou simplesmente todas as funções reais) sobre R é de dimensão infinita. Em teoria de espaços vetoriais, isso significa que não existe uma base finita: para qualquer inteiro n, podemos achar pelo menos n+1 funções linearmente independentes. Vamos usar como exemplo os polinômios 1,x,x^2,dots,x^n.

Passo 2

Fixe um inteiro n>=0 e considere o conjunto
,1,;x,;x^2,;dots,;x^nsubset C(R)
Mostremos que essas n+1 funções são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a0,a1,dots,an tais que, para todo xinR,
a0cdot1 + a1,x + a2,x^2 + cdots + an,x^n = 0
Mas isso é exatamente uma identidade polinomial de grau <= n que se anula em infinitos pontos. Do teorema fundamental da álgebra, um polinômio não nulo de grau <= n só pode ter no máximo n raízes. Como aqui ele é zero para todo x, a única possibilidade é que
a0 = a1 = cdots = an = 0
Logo, não há combinação linear não trivial que anule essas funções, provando a independência.

Passo 3

Vimos que, para cada n, existe um conjunto de n+1 funções em C(R) que são linearmente independentes. Se o espaço fosse de dimensão finita, teria uma base com dim<infty, e não conseguiria conter conjuntos arbitrariamente grandes de vetores independentes. Concluímos então que C(R) NÃO admite base finita, ou seja, sua dimensão é infinita.

Resposta

O espaço C(R) é de dimensão infinita.

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