Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é
.
Passo 1
O problema pede que a gente ache as dimensões de uma caixa retangular (com arestas x, y, z) que maximizem o volume, sabendo que sua área total é 64 m². Isso é um caso clássico de otimização com restrição, onde vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou explorar a simetria do problema.
Passo 2
Definimos as variáveis e as funções relevantes: o volume é
e a área total da superfície, reunindo as seis faces, é
Passo 3
Para aplicar Lagrange, montamos a função
Aqui
impõe a restrição da área.
Passo 4
As condições de ótimo dizem que as derivadas parciais de
em relação a
devem ser zero. Isso gera o sistema (mostrando só a forma geral):
Todas as equações são simétricas em x, y, z, o que leva à conclusão natural de que
Passo 5
Substituindo
na restrição de área:
Resposta
x = y = z = \frac{4\sqrt{6}}{3} m