Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é 64 m^2.

Passo 1

O problema pede que a gente ache as dimensões de uma caixa retangular (com arestas x, y, z) que maximizem o volume, sabendo que sua área total é 64 m². Isso é um caso clássico de otimização com restrição, onde vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou explorar a simetria do problema.

Passo 2

Definimos as variáveis e as funções relevantes: o volume é
V = x y z
e a área total da superfície, reunindo as seis faces, é
A = 2(xy + xz + yz) = 64

Passo 3

Para aplicar Lagrange, montamos a função
L(x,y,z,lambda) = x y z - lambdal(2(xy + xz + yz) - 64r)
Aqui lambda impõe a restrição da área.

Passo 4

As condições de ótimo dizem que as derivadas parciais de L em relação a x,y,z devem ser zero. Isso gera o sistema (mostrando só a forma geral):
partialLpartial x=yz-2lambda(y+z)=0,
partialLpartial y=xz-2lambda(x+z)=0,
partialLpartial z=xy-2lambda(x+y)=0
Todas as equações são simétricas em x, y, z, o que leva à conclusão natural de que
x = y = z

Passo 5

Substituindo x=y=z na restrição de área:
2l(x^2 + x^2 + x^2r) = 6x^2 = 64
x^2 = 646 = 323,
x = raiz323 = 4raiz63 m Assim, a caixa ótima é um cubo de aresta tfrac4raiz63 metros.

Resposta

x = y = z = \frac{4\sqrt{6}}{3} m

Exercícios relacionados