Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções nos pontos indicados e faça um esboço em cada caso.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico da função $ g(x) = \tan(x - 1) $ no ponto onde $ x = \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a descobrir a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ g(x) $ no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $. Isso vai nos dar o ponto de tangência.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função $ g(x) $. A derivada de $ \tan(u) $ em relação a $ x $ é $ \sec^2(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $. No nosso caso, $ u = x - 1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $:
Passo 5
Com o valor de $ g\left(\frac{\pi}{2}\right) $ e $ g’\left(\frac{\pi}{2}\right) $, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ g(x) = \tan(x - 1) $ no ponto $ x = \frac{\pi}{2} $ é: