Determine os pontos de máximos, mínimos e de sela da função dada.
Passo 1
A questão pede pra gente encontrar pontos críticos da função de duas variáveis e classificá-los como máximos, mínimos ou sela, usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x²+y⁴+2xy. Temos
Precisamos resolver o sistema grad f=0.
Passo 3
Do sistema
tiramos
Substituindo x=-y na segunda equação dá
Logo y=0 ou y=±1/\sqrt{2}.
Passo 4
Para cada y achado, x=-y. Assim os pontos críticos são
Passo 5
Agora montamos a Hessiana
O determinante é D=2·(12y2)−2²=24y2−4.
Passo 6
Avalia-mos D e f_{xx} em cada ponto:
- Em (0,0): D=−4<0 ⇒ ponto de sela.
- Em y=±1/√2: y²=1/2 ⇒ D=24·(1/2)−4=8>0 e f_{xx}=2>0 ⇒ mínimo local.
Passo 7
Concluímos que não há máximos locais (a função cresce indefinidamente), há um ponto de sela em (0,0) e dois mínimos locais nos pontos encontrados.
Resposta
Ponto de sela: (0,0). Mínimos locais:
e
. Não há máximos locais.