Determine os pontos de máximos, mínimos e de sela da função dada.
f(x, y)=x^2+y^4+2 x y

Passo 1

A questão pede pra gente encontrar pontos críticos da função de duas variáveis e classificá-los como máximos, mínimos ou sela, usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x²+y⁴+2xy. Temos
partial fpartial x=2x+2y=2(x+y)
partial fpartial y=4y^3+2x
Precisamos resolver o sistema grad f=0.

Passo 3

Do sistema
2(x+y)=0 4y^3+2x=0
tiramos
x+y=0 x=-2y^3
Substituindo x=-y na segunda equação dá
4y^3+2(-y)=0implies2y(2y^2-1)=0
Logo y=0 ou y=±1/\sqrt{2}.

Passo 4

Para cada y achado, x=-y. Assim os pontos críticos são
(0,0),l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r),l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

Passo 5

Agora montamos a Hessiana
H=fxx&fxyfyx&fyy= 2&22&12y^2
O determinante é D=2·(12y2)−2²=24y2−4.

Passo 6

Avalia-mos D e f_{xx} em cada ponto:
  • Em (0,0): D=−4<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em y=±1/√2: y²=1/2 ⇒ D=24·(1/2)−4=8>0 e f_{xx}=2>0 ⇒ mínimo local.

Passo 7

Concluímos que não há máximos locais (a função cresce indefinidamente), há um ponto de sela em (0,0) e dois mínimos locais nos pontos encontrados.

Resposta

Ponto de sela: (0,0). Mínimos locais: (-1/raiz2,,1/raiz2) e (1/raiz2,,-1/raiz2). Não há máximos locais.

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