Utilize a definição de derivada por meio de limites para mostrar que a derivada da função f(x)=e^x é ela mesma.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar, usando a definição de derivada por limite, que se f(x)=e^x então f’(x)=e^x. O conteúdo aqui é derivada de função exponencial, e vamos precisar da definição de derivada e da expansão em série de e^h.

Passo 2

Pela definição de derivada temos
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Como f(x)=e^x, substituímos e obtemos
f'(x)=limhto0e^x+h-e^xh

Passo 3

Na expressão acima, fatoramos e^x, pois ele não depende de h. Assim:
$$f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{ex\bigl(eh-1\bigr)}{h}
= ex\lim_{h\to0}\frac{eh-1}{h}.$$

Passo 4

Para avaliar limhto0e^h-1h, usamos a série de Taylor de e^h ao redor de h=0:
e^h=1+h+h^22!+h^33!+cdots
Subtraindo 1 e dividindo por h:
e^h-1h=1+h2!+h^23!+cdots
Quando h→0, todos os termos com h somam zero, então o limite é 1.

Passo 5

Portanto
f'(x)=e^xcdot1=e^x

Resposta

A derivada de f(x)=e^x é f’(x)=e^x.

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