Utilize a definição de derivada por meio de limites para mostrar que a derivada da função
é ela mesma.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar, usando a definição de derivada por limite, que se f(x)=e^x então f’(x)=e^x. O conteúdo aqui é derivada de função exponencial, e vamos precisar da definição de derivada e da expansão em série de e^h.
Passo 2
Pela definição de derivada temos
Como f(x)=e^x, substituímos e obtemos
Passo 3
Na expressão acima, fatoramos e^x, pois ele não depende de h. Assim:
$$f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{ex\bigl(eh-1\bigr)}{h}
= ex\lim_{h\to0}\frac{eh-1}{h}.$$
Passo 4
Para avaliar
, usamos a série de Taylor de e^h ao redor de h=0:
Subtraindo 1 e dividindo por h:
Quando h→0, todos os termos com h somam zero, então o limite é 1.
Passo 5
Portanto
Resposta
A derivada de f(x)=e^x é f’(x)=e^x.