Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabendo que as 3 faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertence ao plano
. Calcule o volume.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões
de um paralelepípedo retangular com faces nos eixos coordenados e o vértice oposto sobre o plano
, de modo a maximizar seu volume. O conteúdo principal é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar a função volume e aplicar o método.
Passo 2
Definimos a função objetivo volume e a restrição:
Passo 3
Construímos a Lagrangeana e igualamos as derivadas parciais a zero:
Derivando e igualando a zero:
Passo 4
Das três primeiras equações obtemos:
Dividindo
Passo 5
Substituindo em
encontramos o volume máximo:
Resposta
As dimensões para volume máximo são x= a/3, y= b/3, z= c/3 e o volume máximo é abc/27.