Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabendo que as 3 faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertence ao plano xa+yb+zc=1(a, b, c>0). Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões x,y,z de um paralelepípedo retangular com faces nos eixos coordenados e o vértice oposto sobre o plano xa+yb+zc=1, de modo a maximizar seu volume. O conteúdo principal é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar a função volume e aplicar o método.

Passo 2

Definimos a função objetivo volume e a restrição:
V(x,y,z)=x,y,z
xa+yb+zc-1=0

Passo 3

Construímos a Lagrangeana e igualamos as derivadas parciais a zero:
L(x,y,z,lambda)=xyz-lambdal(xa+yb+zc-1r)
Derivando e igualando a zero:
partialLpartial x=yz-lambda1a=0, partialLpartial y=xz-lambda1b=0, partialLpartial z=xy-lambda1c=0, partialLpartiallambda= -l(xa+yb+zc-1r)=0

Passo 4

Das três primeiras equações obtemos:
yz=lambdaa, xz=lambdab, xy=lambdac
Dividindo yz/xz vem y/x=b/a, e análogas dão x/a=y/b=z/c. Chamando esse valor comum de t, da restrição 3t=1 segue t=1/3. Logo:
x=a3, y=b3, z=c3

Passo 5

Substituindo em V encontramos o volume máximo:
Vmax=a3cdotb3cdotc3=abc27

Resposta

As dimensões para volume máximo são x= a/3, y= b/3, z= c/3 e o volume máximo é abc/27.

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