Funções Custo Marginal - Uma subsidiária da Elektra Eletronics fabrica um aparelho de DVD potátil. A gerência determina que o diário para a produção desses aparelhos de DVD (em dólares) seja dado por C(x)=0,0001 x^3-0,08 x^2+40 x+5000 onde x corresponde ao número de aparelhos de DVD produzidos.
Qual o custo marginal quando x=200, x=300

Passo 1

Nesse exercício, temos a função de custo diário de produção de DVDs definida por C(x)=0,0001x^3-0,08x^2+40x+5000. O objetivo é calcular o custo marginal em dois pontos: x=200 e x=300. O conteúdo envolvido é derivação de funções polinomiais.

Passo 2

O custo marginal é, por definição, a derivada da função de custo em relação à quantidade produzida. Aqui vamos usar a regra de derivação de potências: se f(x)=ax^n, então f'(x)=anx^n-1, e a derivada de soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Aplicando a regra de derivação termo a termo em C(x):
C'(x)=ddxl(0,0001x^3r)-ddxl(0,08x^2r)+ddx(40x)+ddx(5000)

Passo 4

As derivadas individuais são:
ddx(0,0001x^3)=0,0003x^2, ddx(0,08x^2)=0,16x, ddx(40x)=40, ddx(5000)=0
Logo,
C'(x)=0,0003x^2-0,16x+40

Passo 5

Agora, para x=200, substituímos na expressão de C'(x):
C'(200)=0,0003,(200)^2-0,16,(200)+40
Calculando passo a passo:
0,0003times40000=12, 0,16times200=32
Portanto,
C'(200)=12-32+40=20

Passo 6

Em seguida, para x=300:
C'(300)=0,0003,(300)^2-0,16,(300)+40
Calculando:
0,0003times90000=27, 0,16times300=48
Logo,
C'(300)=27-48+40=19

Resposta

O custo marginal é de US$20 quando x=200 e de US$19 quando x=300.

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