Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito na região do
quadrante, entre os eixos coordenados e o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de um retângulo de área máxima que fica no primeiro quadrante, entre os eixos coordenados e o gráfico da função $ y = 9 - x^2 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar o valor que maximiza a área do retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o retângulo. Como ele está no primeiro quadrante, seus vértices estarão em posições onde $ x $ e $ y $ são positivos. Um dos vértices está na origem
, outro em
no eixo $ x $, outro em
no eixo $ y $, e o último vértice em
, que está sobre o gráfico da função $ y = 9 - x^2 $.
Passo 3
A área $ A $ do retângulo pode ser calculada multiplicando a base pela altura. Aqui, a base é $ x $ e a altura é $ y $. Então, temos:
Mas sabemos que $ y = 9 - x^2 $, então substituindo:
Agora, nossa função de área em termos de $ x $ é $ A(x) = 9x - x^3 $.
Passo 4
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da área em relação a $ x $.
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, $ x = \sqrt{3} $ é o valor que potencialmente maximiza a área.
Passo 6
Com $ x = \sqrt{3} $, vamos encontrar o valor de $ y $ usando a equação da função:
Passo 7
Para garantir que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada:
Substituindo $ x = \sqrt{3} $:
Como a segunda derivada é negativa, confirma que temos um máximo.
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima são: