Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito na região do 1^0 quadrante, entre os eixos coordenados e o gráfico de y=9-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de um retângulo de área máxima que fica no primeiro quadrante, entre os eixos coordenados e o gráfico da função $ y = 9 - x^2 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar o valor que maximiza a área do retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o retângulo. Como ele está no primeiro quadrante, seus vértices estarão em posições onde $ x $ e $ y $ são positivos. Um dos vértices está na origem x , outro em y no eixo $ x $, outro em (0,0) no eixo $ y $, e o último vértice em (x,0), que está sobre o gráfico da função $ y = 9 - x^2 $.

Passo 3

A área $ A $ do retângulo pode ser calculada multiplicando a base pela altura. Aqui, a base é $ x $ e a altura é $ y $. Então, temos:
A
Mas sabemos que $ y = 9 - x^2 $, então substituindo:
x
Agora, nossa função de área em termos de $ x $ é $ A(x) = 9x - x^3 $.

Passo 4

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da área em relação a $ x $.
x

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
9 - 3x^2 = 0
3x^2 = 9
x^2 = 3
x = raiz3
Então, $ x = \sqrt{3} $ é o valor que potencialmente maximiza a área.

Passo 6

Com $ x = \sqrt{3} $, vamos encontrar o valor de $ y $ usando a equação da função:
x = raiz3

Passo 7

Para garantir que esse ponto realmente maximiza a área, podemos verificar a segunda derivada:
A''(x) = ddx(9 - 3x^2) = -6x
Substituindo $ x = \sqrt{3} $:
x = raiz3
Como a segunda derivada é negativa, confirma que temos um máximo.

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima são:
x = raiz3 unidades e y = 6 unidades

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