Prove que a função é continua mas não é diferenciável em .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que a função $ f(x, y) $ definida por
é contínua, mas não diferenciável, no ponto f(x, y) = x + y + dfracx yraizx^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos seguir passo a passo para ficar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que $ f $ é contínua em f .
Continuidade em um ponto significa que o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos provar que:
(0,0)
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y):
(0,0)
Vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 4
Primeira parte: $ x + y $
Quando x + y , tanto $ x $ quanto $ y $ vão para 0, então $ x + y \to 0 $.
Passo 5
Segunda parte: $ \dfrac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $
Para esta parte, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a definição de limite.
Sabemos que:
dfracx yraizx^2 + y^2
Então:
|x y| <= dfracx^2 + y^22
À medida que | dfracx yraizx^2 + y^2 | <= dfracx^2 + y^22 raizx^2 + y^2 = dfracraizx^2 + y^22 , (x, y) to (0,0), então:
raizx^2 + y^2 to 0
Passo 6
Juntando as duas partes:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = lim(x,y) to (0,0) ( x + y + dfracx yraizx^2 + y^2 ) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Portanto, $ f $ é contínua em f .
Passo 7
Agora, vamos verificar se $ f $ é diferenciável em f .
Diferenciabilidade implica que a função pode ser bem aproximada por um plano linear perto do ponto. Formalmente, $ f $ é diferenciável em (0,0) se existem derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o limite que define a diferenciabilidade existe.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em f .
Derivada parcial em relação a $ x $:
(0,0)
Derivada parcial em relação a $ y $:
x
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 1.
Passo 9
Apesar de as derivadas parciais existirem, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável. Para isso, vamos analisar o seguinte limite:
lim(x,y) to (0,0) dfracf(x, y) - f(0,0) - fx(0,0) x - fy(0,0) yraizx^2 + y^2
Substituindo os valores:
lim(x,y) to (0,0) dfracx + y + dfracx yraizx^2 + y^2 - 0 - x - yraizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) dfracdfracx yraizx^2 + y^2raizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2
Passo 10
Vamos analisar o limite lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2.
Se escolhemos diferentes caminhos para (x,y) se aproximarem de (0,0), podemos obter resultados diferentes.
Caminho $ y = x $:
y = x
Caminho $ y = -x $:
dfracx cdot xx^2 + x^2 = dfracx^22x^2 = dfrac12
Como os limites são diferentes dependendo do caminho, o limite geral não existe.
Passo 11
Como o limite:
lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2
não existe, concluímos que $ f $ não é diferenciável em f , mesmo tendo derivadas parciais que existem.
Resposta
Portanto, a função $ f $ é contínua, mas não é diferenciável em f .