Seja
f(x, y)=ll x+y+x yraizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Prove que a função f é continua mas não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que a função $ f(x, y) $ definida por
f(x, y)
é contínua, mas não diferenciável, no ponto f(x, y) = x + y + dfracx yraizx^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos seguir passo a passo para ficar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que $ f $ é contínua em f .
Continuidade em um ponto significa que o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos provar que:
(0,0)

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y):
(0,0)
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeira parte: $ x + y $
Quando x + y , tanto $ x $ quanto $ y $ vão para 0, então $ x + y \to 0 $.

Passo 5

Segunda parte: $ \dfrac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $
Para esta parte, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a definição de limite.
Sabemos que:
dfracx yraizx^2 + y^2
Então:
|x y| <= dfracx^2 + y^22
À medida que | dfracx yraizx^2 + y^2 | <= dfracx^2 + y^22 raizx^2 + y^2 = dfracraizx^2 + y^22 , (x, y) to (0,0), então:
raizx^2 + y^2 to 0

Passo 6

Juntando as duas partes:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = lim(x,y) to (0,0) ( x + y + dfracx yraizx^2 + y^2 ) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Portanto, $ f $ é contínua em f .

Passo 7

Agora, vamos verificar se $ f $ é diferenciável em f .
Diferenciabilidade implica que a função pode ser bem aproximada por um plano linear perto do ponto. Formalmente, $ f $ é diferenciável em (0,0) se existem derivadas parciais contínuas nesse ponto e se o limite que define a diferenciabilidade existe.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em f .
Derivada parcial em relação a $ x $:
(0,0)
Derivada parcial em relação a $ y $:
x
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 1.

Passo 9

Apesar de as derivadas parciais existirem, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável. Para isso, vamos analisar o seguinte limite:
lim(x,y) to (0,0) dfracf(x, y) - f(0,0) - fx(0,0) x - fy(0,0) yraizx^2 + y^2
Substituindo os valores:
lim(x,y) to (0,0) dfracx + y + dfracx yraizx^2 + y^2 - 0 - x - yraizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) dfracdfracx yraizx^2 + y^2raizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2

Passo 10

Vamos analisar o limite lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2.
Se escolhemos diferentes caminhos para (x,y) se aproximarem de (0,0), podemos obter resultados diferentes.
  • Caminho $ y = x $:
y = x
  • Caminho $ y = -x $:
dfracx cdot xx^2 + x^2 = dfracx^22x^2 = dfrac12
Como os limites são diferentes dependendo do caminho, o limite geral não existe.

Passo 11

Como o limite:
lim(x,y) to (0,0) dfracx yx^2 + y^2
não existe, concluímos que $ f $ não é diferenciável em f , mesmo tendo derivadas parciais que existem.

Resposta

Portanto, a função $ f $ é contínua, mas não é diferenciável em f .

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