Determine as dimensões nos sistemas FLT e MLT para: a) o produto entre massa e velocidade, b) o produto entre força e volume, e c) energia cinética dividido pela área.
9) Em um livro antigo de mecânica dos fluidos encontrava-se a seguinte equação para calcular a energia perdida num redutor de diâmetro de uma tubulação:
9) Em um livro antigo de mecânica dos fluidos encontrava-se a seguinte equação para calcular a energia perdida num redutor de diâmetro de uma tubulação:
Passo 1
Beleza, mano! O exercício tem duas partes principais de Análise Dimensional. Primeiro (item 8) a gente tem de achar as dimensões, nos sistemas MLT e FLT, de:
a) produto entre massa e velocidade (m·v)
b) produto entre força e volume (F·V)
c) energia cinética dividida pela área (E_c/A)
a) produto entre massa e velocidade (m·v)
b) produto entre força e volume (F·V)
c) energia cinética dividida pela área (E_c/A)
Depois (item 9) aparece a fórmula de perda de carga num redutor de diâmetro:
e precisamos checar se as dimensões de
estão coerentes.
Conteúdo: Análise dimensional, base MLT (massa, comprimento, tempo) e base FLT (força, comprimento, tempo). Vamos definir as dimensões fundamentais e aplicar direto.
Passo 2
Definindo as bases:
No sistema MLT:
No sistema MLT:
- Massa:
- Comprimento:
- Tempo:
No sistema FLT:
- Força:
- Comprimento:
- Tempo:
E as grandezas derivadas:
- Velocidade
: - Volume
: - Aceleração
: - Força
em MLT: (por ) - Energia
: (joule) - Área
: - Gravidade
:
Passo 3
a) Dimensão de
Em MLT:
Em FLT:
Primeiro, massa em FLT vira
(invertemos
).
Logo
Primeiro, massa
Logo
Passo 4
b) Dimensão de
Em MLT:
Em FLT:
Passo 5
c) Dimensão de
, onde
Em MLT:
Em FLT:
Energia é
, área
, então
Energia
Passo 6
Agora, item 9:
Dimensionalmente:
-
é adimensional. -
tem -
tem
Logo
O “2” no denominador é só número.
Portanto o lado direito dá dimensão de , ou seja, comprimento, que bate com
(altura ou perda de carga).
Portanto o lado direito dá dimensão de
Resposta
a) m·v → MLT:
, FLT:
b) F·V → MLT: , FLT:
c) → MLT:
, FLT:
b) F·V → MLT:
c)
E na equação do redutor,
tem dimensão de comprimento
, confirmando a consistência dimensional.