Determine as dimensões nos sistemas FLT e MLT para: a) o produto entre massa e velocidade, b) o produto entre força e volume, e c) energia cinética dividido pela área.
9) Em um livro antigo de mecânica dos fluidos encontrava-se a seguinte equação para calcular a energia perdida num redutor de diâmetro de uma tubulação:
h=(0.04 a 0.09)(D / d)^4 V^2 / 2 g

Passo 1

Beleza, mano! O exercício tem duas partes principais de Análise Dimensional. Primeiro (item 8) a gente tem de achar as dimensões, nos sistemas MLT e FLT, de:
a) produto entre massa e velocidade (m·v)
b) produto entre força e volume (F·V)
c) energia cinética dividida pela área (E_c/A)
Depois (item 9) aparece a fórmula de perda de carga num redutor de diâmetro:
h=(0,04;a;0,09),l(tfracDdr)^4,V^22,g
e precisamos checar se as dimensões de estão coerentes.
Conteúdo: Análise dimensional, base MLT (massa, comprimento, tempo) e base FLT (força, comprimento, tempo). Vamos definir as dimensões fundamentais e aplicar direto.

Passo 2

Definindo as bases:
No sistema MLT:
  • Massa:
  • Comprimento:
  • Tempo:
No sistema FLT:
  • Força:
  • Comprimento:
  • Tempo:
E as grandezas derivadas:
  • Velocidade :
  • Volume :
  • Aceleração :
  • Força em MLT: (por )
  • Energia : (joule)
  • Área :
  • Gravidade :

Passo 3

a) Dimensão de [mcdot v]=[M]times[L,T^-1] =;M^1,L^1,T^-1
Em MLT:
[mcdot v] =l[F,T^2,L^-1r]timesl[L,T^-1r] =;F^1,T^1,L^0 =;F,T
Em FLT:
Primeiro, massa em FLT vira (invertemos ).
Logo

Passo 4

b) Dimensão de [Fcdot V] =l[M,L,T^-2r]timesl[L^3r] =;M^1,L^4,T^-2
Em MLT:
[Fcdot V] =;F^1times L^3 =;F,L^3
Em FLT:

Passo 5

c) Dimensão de [Ec/A] =l[M,L^2,T^-2r]l[L^2r] =;M^1,T^-2,L^0 =;M,T^-2 , onde [Ec/A] =F,LL^2 =;F,L^-1
Em MLT:
Em FLT:
Energia é , área , então

Passo 6

Agora, item 9:
h=(0,04;a;0,09), l(tfracDdr)^4, V^22,g
Dimensionalmente:
  • V^2g =L^2,T^-2L,T^-2 =;L é adimensional.
  • tem
  • tem
Logo
O “2” no denominador é só número.
Portanto o lado direito dá dimensão de , ou seja, comprimento, que bate com (altura ou perda de carga).

Resposta

a) m·v → MLT: , FLT:
b) F·V → MLT: , FLT:
c) → MLT: , FLT:
E na equação do redutor, tem dimensão de comprimento , confirmando a consistência dimensional.

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