Determine a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r=2 R_{2}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico no ponto situado a distância radial r=2R_{2} do eixo.
Informações que o enunciado / figura dão (peguei estes dados da imagem):
  • Existem dois cilindros coaxiais (ou cascas cilíndricas) com raios \,R_{1} (interno) e \,R_{2} (externo).
  • As cascas/cilindros possuem cargas indicadas por \,Q_{1} (associada ao cilindro de raio \,R_{1}) e \,Q_{2} (associada ao cilindro de raio \,R_{2}).
  • O ponto onde queremos o campo está em r=2R_{2}, ou seja, fora das duas cascas (radialmente externo).
O enunciado pede apenas a direção do campo em r=2R_{2}, não pede valor numérico.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • A lei de Gauss no vácuo diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}, onde \,Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície. Em fórmula:
\oint_{\text{superf.}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Nesta expressão:
    • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície;
    • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área do elemento e direção normal para fora);
    • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo;
    • \oint indica integral sobre superfície fechada.
  • Ideia física simples: para sistemas com simetria cilíndrica (como cascas cilíndricas coaxiais longas), escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial. A simetria garante que o campo tenha apenas componente radial e seja constante sobre a superfície lateral da casca gaussiana.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo (com explicação detalhada):
  • Escolhe-se uma superfície cilíndrica coaxial de raio r=2R_{2} e comprimento L qualquer (uma “fatia” do cilindro longo). Esse L serve para trabalhar com cargas por comprimento ou cargas totais sobre esse trecho.
  • Fluxo através das partes da superfície:
    • Fluxo através da superfície lateral (curvada): \mathbf{E} é radial e tem módulo constante nessa superfície por simetria; o vetor área também é radial (para fora). Então o produto escalar vale E vezes a área lateral.
    • Fluxo através das tampas (os dois discos nas extremidades): os vetores d\mathbf{A} apontam ao longo do eixo, enquanto \mathbf{E} é radial, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas. Logo as tampas não contribuem para o fluxo.
  • Área lateral da superfície cilíndrica: \,A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • Aplicando Gauss:
E\cdot (2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui E é o módulo do campo na superfície cilíndrica de raio r (positivo por definição de módulo) e Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro do cilindro de raio r.

Passo 4

Identificação de Q_{\text{int}} para r=2R_{2} e expressão do módulo de E:
  • Como o ponto considerado tem r=2R_{2}, que é maior que R_{2}, a superfície gaussiana envolve totalmente ambas as cascas/cilindros. Portanto a carga total interna é a soma (algebraica) das cargas das duas cascas:
Q_{\text{int}}=Q_{1}+Q_{2}.
(Observe que Q_{1} e Q_{2} podem ser positivas ou negativas; a soma algebraica é o que entra em Q_{\text{int}}.)
  • Substituindo em Gauss e isolando E:
E=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{2\pi \varepsilon_{0} r L}.
Aqui:
  • Se as quantidades Q_{1} e Q_{2} fornecidas no enunciado forem cargas totais no comprimento L escolhido, a fórmula é direta. Se forem dadas densidades lineares \lambda_{1},\lambda_{2}, usa-se \lambda_{1}L+\lambda_{2}L no numerador; a estrutura é a mesma.
  • Observação importante (orientação): a equação acima dá o módulo E. A direção (sentido) do vetor \mathbf{E} é radial — ou seja, ao longo da linha que sai do eixo — e o sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de Q_{1}+Q_{2}.

Passo 5

Como determinar o sentido (física e regra prática):
  • Regra física direta: o campo elétrico aponta
    • radialmente para fora (do centro) se a carga total dentro for positiva;
    • radialmente para dentro (em direção ao eixo) se a carga total dentro for negativa;
    • é nulo se a carga total dentro for zero.
  • Em termos algébricos e práticos para este problema:
    • Se \,Q_{1}+Q_{2}>0 então o campo em r=2R_{2} aponta para fora.
    • Se \,Q_{1}+Q_{2}<0 então o campo em r=2R_{2} aponta para dentro.
    • Se \,Q_{1}+Q_{2}=0 então \mathbf{E}=0 naquele ponto.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (pequena intuição):
  • Exemplo 1: se Q_{1}=+3 (unidades quaisquer) e Q_{2}=+1, então Q_{1}+Q_{2}=+4>0 → campo aponta para fora.
  • Exemplo 2: se Q_{1}=+2 e Q_{2}=-5, então Q_{1}+Q_{2}=-3<0 → campo aponta para dentro.
  • Exemplo 3: se Q_{1}=+2 e Q_{2}=-2, então Q_{1}+Q_{2}=0 → campo nulo fora ( \mathbf{E}=0).

Resposta

Para fora se Q_{1}+Q_{2}>0.
Para dentro se Q_{1}+Q_{2}<0.
Nulo (sem direção) se Q_{1}+Q_{2}=0.

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