Determine a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial
.
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico no ponto situado a distância radial
do eixo.
Informações que o enunciado / figura dão (peguei estes dados da imagem):
- Existem dois cilindros coaxiais (ou cascas cilíndricas) com raios
(interno) e (externo). - As cascas/cilindros possuem cargas indicadas por
(associada ao cilindro de raio ) e (associada ao cilindro de raio ). - O ponto onde queremos o campo está em
, ou seja, fora das duas cascas (radialmente externo).
O enunciado pede apenas a direção do campo em
, não pede valor numérico.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
- A lei de Gauss no vácuo diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale
, onde é a carga total contida dentro da superfície. Em fórmula:
- Nesta expressão:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície; -
é o elemento de área vetorial da superfície (módulo igual à área do elemento e direção normal para fora); -
é a permissividade elétrica do vácuo; -
indica integral sobre superfície fechada.
-
- Ideia física simples: para sistemas com simetria cilíndrica (como cascas cilíndricas coaxiais longas), escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial. A simetria garante que o campo tenha apenas componente radial e seja constante sobre a superfície lateral da casca gaussiana.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo (com explicação detalhada):
- Escolhe-se uma superfície cilíndrica coaxial de raio
e comprimento qualquer (uma “fatia” do cilindro longo). Esse serve para trabalhar com cargas por comprimento ou cargas totais sobre esse trecho. - Fluxo através das partes da superfície:
- Fluxo através da superfície lateral (curvada):
é radial e tem módulo constante nessa superfície por simetria; o vetor área também é radial (para fora). Então o produto escalar vale vezes a área lateral. - Fluxo através das tampas (os dois discos nas extremidades): os vetores
apontam ao longo do eixo, enquanto é radial, então nas tampas. Logo as tampas não contribuem para o fluxo.
- Fluxo através da superfície lateral (curvada):
- Área lateral da superfície cilíndrica:
. - Aplicando Gauss:
Aqui
é o módulo do campo na superfície cilíndrica de raio
(positivo por definição de módulo) e
é a carga total contida dentro do cilindro de raio
.
Passo 4
Identificação de
para
e expressão do módulo de
:
- Como o ponto considerado tem
, que é maior que , a superfície gaussiana envolve totalmente ambas as cascas/cilindros. Portanto a carga total interna é a soma (algebraica) das cargas das duas cascas:
(Observe que
e
podem ser positivas ou negativas; a soma algebraica é o que entra em
.)
- Substituindo em Gauss e isolando
:
Aqui:
- Se as quantidades
e fornecidas no enunciado forem cargas totais no comprimento escolhido, a fórmula é direta. Se forem dadas densidades lineares , usa-se no numerador; a estrutura é a mesma. - Observação importante (orientação): a equação acima dá o módulo
. A direção (sentido) do vetor é radial — ou seja, ao longo da linha que sai do eixo — e o sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de .
Passo 5
Como determinar o sentido (física e regra prática):
- Regra física direta: o campo elétrico aponta
- radialmente para fora (do centro) se a carga total dentro for positiva;
- radialmente para dentro (em direção ao eixo) se a carga total dentro for negativa;
- é nulo se a carga total dentro for zero.
- Em termos algébricos e práticos para este problema:
- Se
então o campo em aponta para fora. - Se
então o campo em aponta para dentro. - Se
então naquele ponto.
- Se
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (pequena intuição):
- Exemplo 1: se
(unidades quaisquer) e , então → campo aponta para fora. - Exemplo 2: se
e , então → campo aponta para dentro. - Exemplo 3: se
e , então → campo nulo fora ( ).
Resposta
Para fora se
.
Para dentro se .
Nulo (sem direção) se .
Para dentro se
Nulo (sem direção) se