Determine o módulo do campo elétrico em
Passo 1
O enunciado pede: determinar o módulo do campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é
.
Informações dadas (peguei estes itens da imagem):
- Há um núcleo interno de raio
(região central sombreada). - Há uma camada esférica (ou região esférica) entre os raios
e preenchida com carga positiva distribuída uniformemente (na figura aparecem sinais +). - Não há indicação de outras cargas fora do raio
. - A pergunta específica é: qual o módulo de
em .
Passo 2
Qual é a simetria e que lei usar?
A distribuição de carga mostrada é esfericamente simétrica (a densidade depende só da distância ao centro), portanto o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância do centro deve ser radial e ter a mesma magnitude em toda a superfície esférica de raio
. Nessa situação a ferramenta natural é a Lei de Gauss:
A distribuição de carga mostrada é esfericamente simétrica (a densidade depende só da distância ao centro), portanto o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância
Explicando essa fórmula de forma simples: o lado esquerdo é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada; se escolhermos uma esfera de raio
centrada na distribuição, por simetria
aponta radialmente e tem módulo constante sobre a superfície, então o fluxo é
. O termo
é a carga total contida dentro dessa esfera;
é a permissividade do vácuo.
Assim, para
maior que todas as cargas (caso de
) obtemos a forma prática:
Passo 3
Determinar
para
.
Como , a superfície de Gauss de raio
envolve toda a região carregada entre
e
. Se a densidade volumétrica de carga for
(unidade
), a carga total contida na casca esférica entre
e
é:
Como
Aqui usei a fórmula do volume de uma esfera
e subtraí o volume interno de raio
.
Passo 4
Substituir
e
na expressão de
. Primeiro a forma geral da Lei de Gauss aplicada:
Agora substituir
:
Simplificando passo a passo: o fator
do numerador cancela com o
do denominador, restando
Multiplicando os fatores
e
dá
. Portanto
O sentido do vetor campo é radial para fora (porque a carga é positiva).
Passo 5
Expressão alternativa em termos da carga total
da casca. Se alguém preferir usar a carga total
, a forma direta da Lei de Coulomb/Gauss fora da distribuição é
Ambas as expressões são equivalentes (substituindo
pela expressão em
volta-se à fórmula do Passo 4).
Passo 6
Verificação rápida de unidades e casos limite (para dar confiança na resposta):
- Unidades:
tem , tem de forma que a combinação produz em ou . - Caso limite
(casca preenchendo desde o centro) reduz para , consistente dimensionalmente. - O campo decai como
fora da distribuição, como esperado.