Determine o módulo do campo elétrico em r=3 b

Passo 1

O enunciado pede: determinar o módulo do campo elétrico no ponto cuja distância ao centro é r=3b.
Informações dadas (peguei estes itens da imagem):
  • Há um núcleo interno de raio a (região central sombreada).
  • Há uma camada esférica (ou região esférica) entre os raios a e b preenchida com carga positiva distribuída uniformemente (na figura aparecem sinais +).
  • Não há indicação de outras cargas fora do raio b.
  • A pergunta específica é: qual o módulo de \mathbf{E} em r=3b.

Passo 2

Qual é a simetria e que lei usar?
A distribuição de carga mostrada é esfericamente simétrica (a densidade depende só da distância ao centro), portanto o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância r do centro deve ser radial e ter a mesma magnitude em toda a superfície esférica de raio r. Nessa situação a ferramenta natural é a Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Explicando essa fórmula de forma simples: o lado esquerdo é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada; se escolhermos uma esfera de raio r centrada na distribuição, por simetria \mathbf{E} aponta radialmente e tem módulo constante sobre a superfície, então o fluxo é E\cdot 4\pi r^2. O termo Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro dessa esfera; \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Assim, para r maior que todas as cargas (caso de r=3b) obtemos a forma prática:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}}.

Passo 3

Determinar Q_{\text{int}} para r=3b.
Como 3b>b, a superfície de Gauss de raio r=3b envolve toda a região carregada entre a e b. Se a densidade volumétrica de carga for \rho (unidade \mathrm{C/m^3}), a carga total contida na casca esférica entre a e b é:
Q_{\text{int}}= \rho \times \text{(volume da casca)} = \rho \cdot \left(\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)\right).
Aqui usei a fórmula do volume de uma esfera \frac{4}{3}\pi r^{3} e subtraí o volume interno de raio a.

Passo 4

Substituir Q_{\text{int}} e r=3b na expressão de E(r). Primeiro a forma geral da Lei de Gauss aplicada:
E(3b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_{\text{int}}}{(3b)^{2}}.
Agora substituir Q_{\text{int}}=\rho\frac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3}):
E(3b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}{9b^{2}}.
Simplificando passo a passo: o fator 4\pi do numerador cancela com o 4\pi do denominador, restando
E(3b)=\rho\cdot\frac{1}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{9b^{2}}.
Multiplicando os fatores \dfrac{1}{3} e \dfrac{1}{9} \dfrac{1}{27}. Portanto
E(3b)=\frac{\rho\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}{27\,\varepsilon_0\,b^{2}}.
O sentido do vetor campo é radial para fora (porque a carga é positiva).

Passo 5

Expressão alternativa em termos da carga total Q da casca. Se alguém preferir usar a carga total Q=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi(b^{3}-a^{3}), a forma direta da Lei de Coulomb/Gauss fora da distribuição é
E(3b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{(3b)^{2}}=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0\,b^{2}}.
Ambas as expressões são equivalentes (substituindo Q pela expressão em \rho volta-se à fórmula do Passo 4).

Passo 6

Verificação rápida de unidades e casos limite (para dar confiança na resposta):
  • Unidades: \rho tem \mathrm{C/m^{3}}, \varepsilon_0 tem \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} de forma que a combinação produz E em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}.
  • Caso limite a\to 0 (casca preenchendo desde o centro) reduz para E(3b)=\dfrac{\rho b}{27\varepsilon_0}, consistente dimensionalmente.
  • O campo decai como 1/r^{2} fora da distribuição, como esperado.

Resposta

E(3b)=\frac{\rho\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)}{27\,\varepsilon_0\,b^{2}}
E(3b)=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0\,b^{2}}

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