Linearize
no ponto
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Foi dada a função
. - O ponto onde vamos linearizar é
. - A pergunta é: encontrar a linearização (aproximação linear de primeira ordem) de
em torno de .
Passo 2
Ideia da linearização (o que é e a fórmula que vamos usar).
- A linearização de uma função de duas variáveis
em torno do ponto é a aproximação de primeira ordem dada por
- Aqui
e são as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no ponto . - Significado:
é a taxa de variação de quando muda (mantendo fixo) em ; é a taxa de variação quando muda (mantendo fixo).
Passo 3
Calcular o valor de
no ponto
.
- Substituindo
em obtemos
Passo 4
Calcular as derivadas parciais gerais usando a regra da cadeia.
- Escrevendo
. - Derivada parcial em relação a
: aplicar a regra da cadeia. Se e , então e . Assim
- Derivada parcial em relação a
: similar, , então
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Em
tem-se . Então
Passo 6
Montar a linearização em
usando a fórmula da Passo 2.
- Como
e , a fórmula fica
- Substituindo os valores calculados:
- Portanto a aproximação linear é
Passo 7
Comentário prático e exemplo rápido (para ganhar confiança).
- Essa aproximação é boa quando
está próximo de . Por exemplo, para e :
- O valor exato é
. A aproximação deu , bem próxima para um deslocamento pequeno.