Linearize
f(x, y)=\sqrt{1+3 x+2 y}
no ponto (0,0).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Foi dada a função \,f(x,y)=\sqrt{1+3x+2y}\,.
  • O ponto onde vamos linearizar é \,(0,0).
  • A pergunta é: encontrar a linearização (aproximação linear de primeira ordem) de f em torno de (0,0).

Passo 2

Ideia da linearização (o que é e a fórmula que vamos usar).
  • A linearização de uma função de duas variáveis f(x,y) em torno do ponto (a,b) é a aproximação de primeira ordem dada por
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
  • Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, avaliadas no ponto (a,b).
  • Significado: f_x(a,b) é a taxa de variação de f quando x muda (mantendo y fixo) em (a,b); f_y(a,b) é a taxa de variação quando y muda (mantendo x fixo).

Passo 3

Calcular o valor de f no ponto (0,0).
  • Substituindo (x,y)=(0,0) em \,f(x,y)=\sqrt{1+3x+2y}\, obtemos
f(0,0)=\sqrt{1+3\cdot0+2\cdot0}=\sqrt{1}=1.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais gerais usando a regra da cadeia.
  • Escrevendo f(x,y)=(1+3x+2y)^{1/2}.
  • Derivada parcial em relação a x: aplicar a regra da cadeia. Se g(u)=u^{1/2} e u(x,y)=1+3x+2y, então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} e \partial u/\partial x=3. Assim
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(1+3x+2y)^{-1/2}\cdot 3=\frac{3}{2}\,(1+3x+2y)^{-1/2}.
  • Derivada parcial em relação a y: similar, \partial u/\partial y=2, então
f_y(x,y)=\frac{1}{2}(1+3x+2y)^{-1/2}\cdot 2=(1+3x+2y)^{-1/2}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (0,0).
  • Em (0,0) tem-se (1+3\cdot0+2\cdot0)^{-1/2}=1. Então
f_x(0,0)=\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}, \qquad f_y(0,0)=1.

Passo 6

Montar a linearização em (0,0) usando a fórmula da Passo 2.
  • Como a=0 e b=0, a fórmula fica
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
  • Substituindo os valores calculados:
L(x,y)=1+\frac{3}{2}x+1\cdot y.
  • Portanto a aproximação linear é
L(x,y)=1+\frac{3}{2}x+y.

Passo 7

Comentário prático e exemplo rápido (para ganhar confiança).
  • Essa aproximação é boa quando (x,y) está próximo de (0,0). Por exemplo, para x=0{,}1 e y=0{,}05:
L(0{,}1,0{,}05)=1+\frac{3}{2}\cdot 0{,}1+0{,}05=1+0{,}15+0{,}05=1{,}2.
  • O valor exato é f(0{,}1,0{,}05)=\sqrt{1+3\cdot0{,}1+2\cdot0{,}05}=\sqrt{1{,}4}\approx 1{,}1832. A aproximação deu 1{,}2, bem próxima para um deslocamento pequeno.

Resposta

L(x,y)=1+\frac{3}{2}x+y

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