Exercício 6. (Apostol seção 1.10 exercício 24) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e S subset V um subespaço de V. Prove cada uma das seguintes afirmações:
a) S é um espaço vetorial de dimensão finita, então dim(S) <= dim(V).
b) dim(S)=dim(V) se, e somente se, S=V.
c) Toda base de S é parte de uma base de V.
d) Uma base de V não contém necessariamente uma base de S. (Ache um exemplo)

Passo 1

O enunciado quer que, num espaço vetorial finito V e seu subespaço S, provemos:
a) dim(S)<=dim(V).
b) dim(S)=dim(V)iff S=V.
c) Toda base de S pode ser estendida a uma base de V.
d) Nem toda base de V precisa conter uma base de S (dar um contra-exemplo).
Para isso vamos usar a definição de dimensão como cardinalidade de uma base e o fato de que qualquer conjunto linearmente independente em S também é independente em V, além do teorema de extensão de bases em espaços de dimensão finita.

Passo 2

Prova de (a): seja dim(S)=n. Então existe uma base
BS=v1,dots,vn
de S. Como Ssubset V, esse mesmo conjunto é linearmente independente em V. Mas a dimensão de V é o tamanho máximo de um conjunto independente em V. Logo
n = |BS|<= dim(V),
ou seja, dim(S)<=dim(V).

Passo 3

Prova de (b):
Rightarrow”: se dim(S)=dim(V), então uma base de S tem exatamente dim(V) vetores independentes em V. Mas qualquer conjunto independente de tamanho igual à dimensão de V é uma base de V e, portanto, o seu span é todo V. Como esse span é S, segue que S=V.
Leftarrow”: se S=V, então obviamente dim(S)=dim(V).

Passo 4

Prova de (c): seja
BS=v1,dots,vk
uma base de S. Sabemos que v1,dots,vk é independente em V. Pelo teorema de extensão de bases em espaços de dimensão finita, esse conjunto pode ser completado a uma base de V. Ou seja, existem vetores vk+1,dots,vn em V tais que
BV=v1,dots,vk,vk+1,dots,vn
é uma base de V. Assim, toda base de S é parte de uma base de V.

Passo 5

Contra-exemplo para (d): tome V=R^2 e S=span(1,0). Uma base de S é (1,0). Agora considere a base de V
BV=(1,1),(0,1)
Observe que (1,0) não pertence a BV, logo essa base de V não contém a base (1,0) de S. Assim, nem toda base de V precisa conter uma base de S.

Resposta

a) dim(S)<=dim(V).
b) dim(S)=dim(V) se, e somente se, S=V.
c) Toda base de S pode ser estendida a uma base de V.
d) Contra-exemplo: em R^2, S=span(1,0). A base (1,1),(0,1) de R^2 não contém (1,0).

Exercícios relacionados