Exercício 6. (Apostol seção 1.10 exercício 24) Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e
um subespaço de
. Prove cada uma das seguintes afirmações:
a)
é um espaço vetorial de dimensão finita, então
.
b)
se, e somente se,
.
c) Toda base de
é parte de uma base de
.
d) Uma base de
não contém necessariamente uma base de
. (Ache um exemplo)
a)
b)
c) Toda base de
d) Uma base de
Passo 1
O enunciado quer que, num espaço vetorial finito
e seu subespaço
, provemos:
a) .
b) .
c) Toda base de pode ser estendida a uma base de
.
d) Nem toda base de precisa conter uma base de
(dar um contra-exemplo).
a)
b)
c) Toda base de
d) Nem toda base de
Para isso vamos usar a definição de dimensão como cardinalidade de uma base e o fato de que qualquer conjunto linearmente independente em
também é independente em
, além do teorema de extensão de bases em espaços de dimensão finita.
Passo 2
Prova de (a): seja
. Então existe uma base
de
. Como
, esse mesmo conjunto é linearmente independente em
. Mas a dimensão de
é o tamanho máximo de um conjunto independente em
. Logo
ou seja,
.
Passo 3
Prova de (b):
“ ”: se
, então uma base de
tem exatamente
vetores independentes em
. Mas qualquer conjunto independente de tamanho igual à dimensão de
é uma base de
e, portanto, o seu span é todo
. Como esse span é
, segue que
.
“ ”: se
, então obviamente
.
“
“
Passo 4
Prova de (c): seja
uma base de
. Sabemos que
é independente em
. Pelo teorema de extensão de bases em espaços de dimensão finita, esse conjunto pode ser completado a uma base de
. Ou seja, existem vetores
em
tais que
é uma base de
. Assim, toda base de
é parte de uma base de
.
Passo 5
Contra-exemplo para (d): tome
e
. Uma base de
é
. Agora considere a base de
Observe que
não pertence a
, logo essa base de
não contém a base
de
. Assim, nem toda base de
precisa conter uma base de
.
Resposta
a)
.
b) se, e somente se,
.
c) Toda base de pode ser estendida a uma base de
.
d) Contra-exemplo: em ,
. A base
de
não contém
.
b)
c) Toda base de
d) Contra-exemplo: em