Determine as direções de crescimento máximo das funções nos pontos considerados.
f(x, y, z)=sen(x y) e^-z^2, p=(1, pi, 0)

Passo 1

A função é
f(x,y,z)=sin(xy),e^-z^2
e o ponto é p=(1,pi,0).
Queremos a direção em que f cresce mais rápido nesse ponto. Pelo cálculo vetorial, essa direção é dada pelo gradiente nabla f avaliado em p.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para obter o gradiente:
partial fpartial x =cos(xy),y,e^-z^2, partial fpartial y =cos(xy),x,e^-z^2, partial fpartial z =-2z,sin(xy),e^-z^2

Passo 3

Avalie em p=(1,pi,0). Aqui xy=1cdotpi=pi, logo cos(pi)=-1 e sin(pi)=0. Assim
nabla f(1,pi,0) =l(-1cdotpicdot e^0,;-1cdot1cdot e^0,;-2cdot0cdot0cdot e^0r) =(-pi,,-1,;0)

Passo 4

O vetor nabla f(1,pi,0)=(-pi,-1,0) indica a direção de crescimento máximo. Se quisermos a direção unitária, normalizamos:
u =1raizpi^2+1;(-pi,,-1,;0)

Resposta

A direção de crescimento máximo em p é dada por
nabla f(1,pi,0)=(-pi,-1,0)
e a direção unitária correspondente é
1raizpi^2+1,(-pi,-1,0)

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