Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto
tem o valor 2.
Passo 1
No enunciado, a gente tem a função f(x,y)=x^{2}+x y^{3} e quer encontrar, no ponto (2,1), todas as direções unitárias u=(u_{1},u_{2}) em que a derivada direcional D_{u}f vale 2. Esse é um caso clássico de derivada direcional usando gradiente.
Passo 2
Calculamos o gradiente de f:
No ponto (2,1) isso dá:
Passo 3
A derivada direcional em uma direção unitária u=(u_{1},u_{2}) é dada por D_{u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot u=5u_{1}+6u_{2}. Queremos que isso seja igual a 2, sujeitando-se à condição de que u seja unitário. Montamos então o sistema:
Passo 4
Para resolver, isolamos u_{1} na primeira equação: u_{1}=\frac{2-6u_{2}}{5}, e substituímos na segunda. Isso gera:
Multiplicando por 25 e simplificando chega-se a:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para u_{2} obtemos:
Em seguida, de u_{1}=\frac{2-6u_{2}}{5} resulta:
Passo 6
Portanto há duas direções unitárias cujos componentes são:
ou
Resposta
As duas direções unitárias em que a derivada direcional vale 2 são
e