Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y)=x^2+x y^3 no ponto (2,1) tem o valor 2.

Passo 1

No enunciado, a gente tem a função f(x,y)=x^{2}+x y^{3} e quer encontrar, no ponto (2,1), todas as direções unitárias u=(u_{1},u_{2}) em que a derivada direcional D_{u}f vale 2. Esse é um caso clássico de derivada direcional usando gradiente.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x+y^3,,3x y^2)
No ponto (2,1) isso dá:
nabla f(2,1)=(2cdot2+1^3,,3cdot2cdot1^2)=(5,6)

Passo 3

A derivada direcional em uma direção unitária u=(u_{1},u_{2}) é dada por D_{u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot u=5u_{1}+6u_{2}. Queremos que isso seja igual a 2, sujeitando-se à condição de que u seja unitário. Montamos então o sistema:
5u1+6u2=2, u1^2+u2^2=1

Passo 4

Para resolver, isolamos u_{1} na primeira equação: u_{1}=\frac{2-6u_{2}}{5}, e substituímos na segunda. Isso gera:
l(2-6u25r)^2+u2^2=1
Multiplicando por 25 e simplificando chega-se a:
61u2^2-24u2-21=0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para u_{2} obtemos:
u2=12pm5raiz5761
Em seguida, de u_{1}=\frac{2-6u_{2}}{5} resulta:
u1=10mp6raiz5761

Passo 6

Portanto há duas direções unitárias cujos componentes são:
u=161(10+6raiz57,,12-5raiz57)
ou
u=161(10-6raiz57,,12+5raiz57)

Resposta

As duas direções unitárias em que a derivada direcional vale 2 são
161l(10+6raiz57,,12-5raiz57r)
e
161l(10-6raiz57,,12+5raiz57r)

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