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Se f(x)=e^2 x-x^2 esboce o gráfico de f levando em consideração as seguintes informações: domínio, observe onde o gráfico intercepta o eixo y, derivada de primeira ordem, números críticos, crescimento e decrescimento da função, derivada de segunda ordem, concavidade e ponto de inflexão, assíntotas. (Vale 5 pontos)
Observações importantes: atente-se em como se calcula a derivada dessa função exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar o gráfico da função $ f(x) = e^{2x - x^{2}} $. Para isso, vamos precisar entender vários aspectos da função, como o domínio, onde ela cruza o eixo y, derivadas de primeira e segunda ordem, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Vamos utilizar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades das funções exponenciais para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Como a função exponencial $ e^{u} $ está definida para todo número real $ u $, e no nosso caso $ u = 2x - x^{2} $, que é um polinômio válido para qualquer $ x $, concluímos que o domínio de $ f(x) $ é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y, ou seja, o valor de $ f(0) $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(0)
Então, o gráfico intercepta o eixo y no ponto $ (0, 1) $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de primeira ordem de $ f(x) $, que nos ajudará a encontrar os números críticos e determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de $ f(x) = e^{2x - x^{2}} $ é dada por:
f(x)
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ e^{u} $ é $ e^{u} \cdot u’ $, onde $ u = 2x - x^{2} $ e $ u’ = 2 - 2x $.

Passo 5

Para encontrar os números críticos, igualamos a derivada a zero:
f'(x) = e^2x - x^2 cdot (2 - 2x) = 0
Como $ e^{2x - x^{2}} $ nunca é zero, temos que:
e^2x - x^2
Portanto, $ x = 1 $ é o único número crítico.

Passo 6

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a derivada.
  • Para $ x < 1 $:
    x < 1
    A função está crescendo.
  • Para $ x > 1 $:
    2 - 2x > 0 implies f'(x) > 0
    A função está decrescendo.
Então, a função cresce até $ x = 1 $ e depois começa a decrescer.

Passo 7

Vamos calcular a derivada de segunda ordem para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos $ f’(x) $:
f'(x)
Aplicando a regra do produto:
f''(x) = ddx ( e^2x - x^2 cdot (2 - 2x) )
Simplificando:
f''(x) = e^2x - x^2 cdot (2 - 2x)^2 + e^2x - x^2 cdot (-2)
f''(x) = e^2x - x^2 ( (2 - 2x)^2 - 2 )

Passo 8

Para encontrar possíveis pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
f''(x) = e^2x - x^2 (4x^2 - 8x + 2) = 0
Novamente, $ e^{2x - x^{2}} $ nunca é zero, então resolvemos:
e^2x - x^2
Dividindo por 2:
4x^2 - 8x + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
2x^2 - 4x + 1 = 0
Portanto, os pontos de inflexão estão em:
x = 4 pm raiz16 - 84 = 4 pm raiz84 = 4 pm 2raiz24 = 2 pm raiz22

Passo 9

Vamos determinar a concavidade observando o sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
  • Se $ f’’(x) > 0 $: Concavidade para cima.
  • Se $ f’’(x) < 0 $: Concavidade para baixo.
Considerando que $ e^{2x - x^{2}} > 0 $ sempre, o sinal de $ f’’(x) $ depende de $ 4x^{2} - 8x + 2 $:
  • Para $ x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ 4x^{2} - 8x + 2 > 0 $ → Concavidade para cima.
  • Para $ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ 4x^{2} - 8x + 2 < 0 $ → Concavidade para baixo.

Passo 10

Por último, vamos identificar as assíntotas da função.
Como $ f(x) = e^{2x - x^{2}} $, vamos analisar os limites quando $ x $ tende ao infinito e ao menos infinito:
  • Quando $ x \to +\infty $: f(x) = e^2x - x^2
  • Quando $ x \to -\infty $: x
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em $ y = 0 $. Não há assíntotas verticais.

Resposta

Então, resumindo tudo:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseção com o eixo y: No ponto $ (0, 1) $.
  • Crescimento: Para $ x < 1 $.
  • Decrescimento: Para $ x > 1 $.
  • Pontos críticos: $ x = 1 $.
  • Concavidade:
    • Para $ x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: Concavidade para cima.
    • Para $ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: Concavidade para baixo.
  • Pontos de inflexão: Em $ x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
  • Assíntotas: Assíntota horizontal em $ y = 0 $.
Com essas informações, você pode desenhar o gráfico de $ f(x) = e^{2x - x^{2}} $, mostrando onde a função cresce, decresce, sua concavidade, pontos de inflexão e a assíntota horizontal.

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